Cтраница 1
Логическая строгость оказывает сдерживающее воздействие, неоценимое в опасных обстоятельствах, а также тогда, когда речь идет о тонкостях. Существуют теоремы, в справедливости которых убеждены большинство математиков, и тем не менее, пока их кто-нибудь не докажет, они останутся необоснованными предположениями и могут применяться только в роли предположений. [1]
Ради логической строгости к аксиомам рациональных чисел добавляется еще одна, называемая аксиомой полноты. Она гарантирует существование действительного числа, которое является пределом заданной последовательности, если для этой последовательности ошибка становится произвольно малой. [2]
Согласно современным критериям логической строгости каждая ветвь чистой математики должна быть обоснована одним из двух способов: или все ее основные понятия должны быть определены в терминах понятий некоторой предшествующей ветви математики, в таком случае ее теоремы могут быть выведены из теорем предшествующей ветви математики с помощью этих определений; или ее основные понятия берутся как неопределяемые, и ее теоремы выводятся из совокупности аксиом, включающих в себя эти неопределяемые термины. [3]
Чтобы придать рассуждениям логическую строгость, достаточно было бы выразить решение в виде / ( - стратегии. Однако оставим пока в запасе этот вспомогательный подход, который позволяет в случае необходимости получить строгое решение и доказать его законность. Как именно это делается, будет продемонстрировано в этой главе позднее. В дальнейшем мы будем допускать такую возможность; однако чаще будем рассматривать стратегии, а не тактики, и в основном направим свои усилия на интегрирование уравнений движения. [4]
В математике важнейшую роль играет логическая строгость, безупречность всех выводов вместе с исследованием всех логически возможных соотношений, вытекающих из принятых аксиом. Задача физики - воссоздать по возможности точную картину мира без строгих правил игры, используя все известные экспериментальные и теоретические факты, используя основанные на интуиции догадки, которые в дальнейшем будут проверены на опыте. Так, математик исследует все логически возможные типы геометрий; физик же выясняет, какие геометрические соотношения осуществляются в нашем мире. [5]
В математике достоверность результатов достигается логической строгостью и анализом всех логически возможных решений. [6]
Математическое дока-аательство убеждает не своей логической строгостью, а интуитивной ясностью каждого из его звеньев. Доверие к аристотелевской логике является источником противоречий ( антиномий), как только мы выходим за пределы конечных множеств, от к-рых эта логика абстрагирована. Поэтому, в конечном счете, даже о применимости логических правил должна судить интуиция. [7]
Математическое доказательство убеждает не своей логической строгостью, а интуитивной ясностью каждого из его звеньев. Доверие к аристотелевской логике является источником противоречий ( антиномий), как только мы выходим за пределы конечных множеств, от к-рых эта логика абстрагирована. Поэтому, в конечном счете, даже о применимости логических правил должна судить интуиция. [8]
Несмотря на такое вольное обращение с логической строгостью в деталях, Лежандр никоим образом не относится равнодушно к принципиальным вопросам об основаниях геометрии; в этом смысле он в противоположность своим предшественникам во Франции не только воспринимает с полным интересом евклидову традицию, но даже развивает ее дальше, вводя существенно новые идеи. [9]
Основными условиями научности стали: для чистой теории - логическая строгость; для эмпирического знания - надежное ( проверяемое) соответствие данным опыта; для науки в целом - наличие четких правил перевода с языка теории на язык наблюдения и наоборот. [10]
Тенденция ко все большей общности сопровождается ростом требований, предъявляемых к логической строгости. [11]
Сам по себе он носит скорее наводящий характер и не претендует на логическую строгость; всю аргументацию не следует понимать слишком буквально. Символическое соответствие между импульсом и некоторым дифференциальным оператором, выражаемое уравнением (3.8), приводит к выполнению соотношения де Бройля Я / г / р, которое послужит нам отправным пунктом. [12]
Но зачем вообще нужно уточнять понятия ( и предложения), зачем вообще нужна логическая строгость в математике и других науках. Суть дела состоит в том, что ( математическая) строгость - как и вообще логика - раширяет возможность применения критерия практики: позволяет заменить его применение в случаях, непосредственно недоступных практической проверке, применением к случаям, доступным ей. Фактически это нам приходится делать постоянно, когда, например, мы хотим восстановить прошлое по его следам в настоящем, доступным опытной, практической, проверке; хотим узнать химический состав звезды по ее спектру или поставить диагноз по рентгенограмме, или... Простота при этом и состоит в доступности непосредственной практической проверке и поэтому сама зависит от технических возможностей, которыми мы располагаем ( хотя бы - как в случае, когда мы допускаем, например, так называемую абстракцию потенциальной осуществимости - и в обобщенном идеализированном виде) ( С. А. Яновская, 1966, стр. При этом речь идет только о той логической строгости, в которой действительно нуждается наука на данной ступени своего развития. [13]
Физические понятия, которые по своей природе являются неясными, не могут рассматриваться с логической строгостью. [14]
Функциональные вопросы решают различные задачи по управлению ходом опроса, его психологической атмосферой, логической строгостью. [15]