Cтраница 2
Обозначим) 0 подалгебру булевой алгебры, порожденную алгебрами ы ( У ф) и ы ( Уф) Имея в виду строение алгебры 0, приведем дополнительные сведения. [16]
Хотя этот результат представляет принципиальный интерес, так как юн сводит вопрос о нахождении всех алгебр к нахождению всевозможных подалгебр матричных алгебр, он не дает прямого ответа на вопрос о строении алгебр. Впервые общий ответ на этот вопрос был дан в конце прошлого века в работах профессора Юрьевского ( Тартуского) университета Ф. Э. Молина ( 1861 - 1941), с 1900 г. преподававшего в Томском политехническом институте. [17]
Дальнейшее развитие теории пошло в основном в двух направлениях. Второе направление - изучение строения неполупростых алгебр - столкнулось со значительными трудностями, большинство из которых не преодолено до сих пор. Поэтому здесь важное место занимают работы, связанные с выделением и описанием естественных классов алгебр. Это направление ведет свое начало от исследований Кете, Асано, Накаямы по алгебрам главных идеалов и их обобщениям. [18]
До сих пор мы узнали очень мало о строении алгебры il ( L), а именно, что она содержит скаляры. [19]
Поэтому описание йордановых / - бимодулей сводится к определению строения алгебры U ( J) и изучению ее ассоциативных представлений. Отсюда следует, что всякий Йорданов бимодуль над сепарабельной конечномерной и. [20]
В работе Мукада [30] исправлены некоторые неточности, допущенные Тода [31] в описании правых идеалов алгебры Стинрода. Известные соотношения Адема ( уже упоминавшиеся выше) были заново выведены Коэном [32] из результатов Милнора о строении алгебры Стинрода. [21]
Мы установили, что операция внешнего умножения билинейна ( или дистрибутивна), т.е. она наделяет Л ( У) строением алгебры. [22]
Линейное отображение р: 7 - EndM является представлением и. Поэтому описание йордановых / - бимодулей сводится к определению строения алгебры U ( /) и изучению ее ассоциативных представлений. Отсюда следует, что всякий Йорданов бимодуль над сепарабельной конечномерной и. Строение алгебр U ( J) известно для всех простых центральных конечномерных и. [23]
Как уже было сказано, для любой группы Ли G может быть определена алгебра Ли, элементами которой служат однопараметрические подгруппы G. Ли устанавливается взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операции сложения, умножения на действительные числа и коммутирования. Оказывается далее, что для любой группы Ли можно найти локально изоморфную ей группу, состоящую из линейных операторов некоторого векторного пространства. Таким образом, строение алгебры Ли любой группы G может быть изучено с помощью описанных выше средств, использующих экспоненциальное отображение. [24]
Следствия IX.4.2 и IX.4.3 дают простое описание модулей над однорядными алгебрами. Нетрудно, однако, заметить, что это описание использует не столько квазифробениусовость всех фактор-алгебр, сколько существование у каждой из них биективного модуля. В этой главе мы рассмотрим более общий класс алгебр, также введенный Накаямой - обобщенно однорядные алгебры, которые характеризуются тем, что у всякой факторалгебры есть биективный модуль. Мы покажем, что это наиболее общий класс алгебр, для которых имеют место аналоги следствий IX.4.2 и IX.4.3. Строение обобщенно однорядных алгебр существенно более сложно, чем у однорядных алгебр. [25]
U ( J), которая определяется как факторалгебра тензорной алгебры T ( J) по идеалу, порожденному множеством элементов вида а2 а - а а2, а. Линейное отображение р: / - - EndAl является представлением и. Отсюда следует, что всякий Йорданов бимодуль над сепарабельной конечномерной и. Строение алгебр [ / ( /) известно для всех простых центральных конечномерных и. [26]
Линейное отображение р: 7 - EndM является представлением и. Поэтому описание йордановых / - бимодулей сводится к определению строения алгебры U ( /) и изучению ее ассоциативных представлений. Отсюда следует, что всякий Йорданов бимодуль над сепарабельной конечномерной и. Строение алгебр U ( J) известно для всех простых центральных конечномерных и. [27]
Если Л полупроста, то, очевидно, Г ( Л) ( У, 0) - колчан, не имеющий ребер. Обратное утверждение также имеет место ( см. упр. Такая алгебра называется примарной. В соответствии с этим просто и строение коммутативных артиновых алгебр. [28]
Тогда умножение однозначно определяется заданием произведения аа а2, причем, как легко видеть, ассоциативность обеспечивается автоматически. Кроме того, такая алгебра обязательно коммутативна. Элемент а - корень этого многочлена. Оказывается, строение алгебры А в основном определяется тем, какие у g ( х) настоящие корни в поле К - Возможны три случая. [29]
Когомологии алгебр были введены Хохшильдом. Ему также принадлежит заслуга выявления связи между сепарабельными алгебрами и теоремами Веддерберна и Мальцева. Существуют более сложные подходы к когомологиям алгебр, чем первоначальная конструкция Хохшильда. Однако его метод позволяет, используя довольно простые средства, быстро развить необходимый аппарат. Доказательство леммы о змее, приведенное в § 11.3, принадлежит Ляйхту. Редукция изучения строения алгебр к случаю нильпотентных алгебр ( как в § 11.7) проясняет ситуацию, но не слишком приближает нас к решению данной проблемы. [30]