Cтраница 2
После краткого обоснования операторного метода он используется для доказательства теорем о структуре общего решения линейных однородннх уравнений в случае, когда характеристическое уравнение имеет простое или кратнье корни. [16]
Решения линейных систем обладают некоторыми замечательными свойствами, которые дают возможность изучить структуру общего решения этих систем ( и даже в некоторых частных случаях получить общее решение в элементарных функциях или в квадратурах), а также исследовать вопросы аналитической теории, качественной теории и теории устойчивости решений ( движений), теории колебаний и других разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и е приложений более полно, чем это сделано для нормальных систем общего вида. [17]
Задачей настоящей главы является выяснение специфических общих свойств - решений линейных уравнений и структуры общего решения, а также - рассмотрение основных методов построения общего решения. [18]
В монографиях [5, 7, 9-11] и серии работ [4, 6, 8] основное внимание уделено взаимосвязи кронекеровой структуры пучка ( 6), структуры общего решения системы ОДУ ( 8) и свойств численных методов. При проведении этих исследований широко использовался аппарат обобщенных обратных матриц. [19]
Указанные методы основаны на использовании структуры общего решения для целей переноса граничных условий. Однако часто фундаментальная система решений однородного уравнения имеет тенденцию к вырождению, когда часть векторов в ней становится почти линейно зависимой. Это приводит к тому, что граничное условие, обладающее свойством невырожденности, скажем, в точке xs, теряет это свойство при своем переносе в точку xs i из-за быстрого накопления погрешностей. В методе Абрамова этого не происходит. [20]
Оно называется характеристическим уравнением. Вид корней уравнения ( 167) определяет структуру общего решения. [21]
Для нахождения собственных векторов матрицы требуется решить систему линейных алгебраических уравнений, решение которой не единственно. Из линейной алгебры известно, что в этом случае структура общего решения системы имеет следующий вид: одно или несколько неизвестных, называемых свободными, могут принимать любые значения, а остальные неизвестные выражаются через свободные. Число свободных неизвестных равно числу уравнений системы, являющихся следствием остальных уравнений. На практике, если свободное неизвестное одно ( что часто и бывает), его полагают равным некоторому числу, например единице. После этого остальные неизвестные ( компоненты вектора) находятся однозначно из подсистемы линейно независимых уравнений, в которой отброшено уравнение, являющееся следствием остальных. Эта процедура не влияет на результат решения задачи, поскольку, как уже отмечалось, собственные векторы находятся с точностью до постоянного множителя. [22]
Последняя задача доставляет трудности совсем иного рода и не позволяет усмотреть каких-либо качественных или структурных свойств даже в тех или иных частных подслучаях, что всегда имеет немаловажное значение. Длд нахождения его частного решения достаточно найти какое-либо одно решение соответствующего однородного уравнения типа (2.22) - и тут метод неявной функции вполне приемлем и в самом деле часто применяется. Но усмотреть этим методом структуру общего решения весьма затруднительно. [23]