Cтраница 1
Почти комплексные структуры и Э - операгоры. [1]
Используя почти комплексные структуры ( вместо почти симплектиче-ских), мы можем сформулировать теорему существования следующим образом: на любом открытом почти комплексном многообразии ( Af, У) в каждом предписанном классе когомологий а е Н2 ( М) существует такая сим-плектическая структура со, что У G J &, где J & - компонента связности множества почти комплексных структур, послойно совместных с формой со. Заметим, что мы не утверждаем, что исходная почти комплексная структура У совместна с формой со. [2]
Мы утверждаем, что почти комплексная структура интегрируема ( как GL ( m; С) - структура) тогда и только тогда, когда она получена из комплексной структуры, Прежде чем объяснить это утверждение, возможно, следует отметить, что почти комплексная структура / часто называется интегрируемой в том случае, когда некоторое тензорное - поле типа ( 1, 2), называемое тензором кручения Ниенхейса, обращается в нуль. Глубокий результат Ныолендера и Ниренберга [1] состоит в том, что эти два определения совпадают. [3]
В работе / 5 / получен критерий интегрируемости указанной почти комплексной структуры на пространстве Z, для формулировки которого нам потребуется ввести понятие ( антж) автодуального многообразия. [4]
Естественная комплексная структура на пространстве Т5 получается, если взять стандартные почти комплексные структуры на сферах / S в обоих слагаемых. [5]
Гладкое семейство линейных операторов Jx: ТхX - - ТХХ называется почти комплексной структурой на X. Для этого имеются необходимые и достаточные условия полной интегрируемости. Но на поверхности каждая почти комплексная структура определяет ( единственную) комплексную структуру. [6]
Пусть ( Х и) - компактное симплектическое 4-многообразие, снабженное совместимой почти комплексной структурой J. Пусть, далее, Е - X - комплексное эрмитово линейное расслоение над X и А - эрмитова связность на Е - X. [7]
Мы утверждаем, что почти комплексная структура интегрируема ( как GL ( m; С) - структура) тогда и только тогда, когда она получена из комплексной структуры, Прежде чем объяснить это утверждение, возможно, следует отметить, что почти комплексная структура / часто называется интегрируемой в том случае, когда некоторое тензорное - поле типа ( 1, 2), называемое тензором кручения Ниенхейса, обращается в нуль. Глубокий результат Ныолендера и Ниренберга [1] состоит в том, что эти два определения совпадают. [8]
Используя почти комплексные структуры ( вместо почти симплектиче-ских), мы можем сформулировать теорему существования следующим образом: на любом открытом почти комплексном многообразии ( Af, У) в каждом предписанном классе когомологий а е Н2 ( М) существует такая сим-плектическая структура со, что У G J &, где J & - компонента связности множества почти комплексных структур, послойно совместных с формой со. Заметим, что мы не утверждаем, что исходная почти комплексная структура У совместна с формой со. [9]
Используя почти комплексные структуры ( вместо почти симплектиче-ских), мы можем сформулировать теорему существования следующим образом: на любом открытом почти комплексном многообразии ( Af, У) в каждом предписанном классе когомологий а е Н2 ( М) существует такая сим-плектическая структура со, что У G J &, где J & - компонента связности множества почти комплексных структур, послойно совместных с формой со. Заметим, что мы не утверждаем, что исходная почти комплексная структура У совместна с формой со. [10]
Эти два комплексно-аналитических примера могут быть в некотором смысле обращены. В силу предложения 9.1.1 пространство J ( W) всех почти комплексных структур У: TW - TW, послойно совместных с сим-плектической формой со на IF, непусто и стягиваемо. В частности, на любом симплектическом многообразии ( М, со) существует послойно совместная с формой со почти комплексная структура /, и, следовательно, ( W, со, /) является почти кэлеровым многообразием. [11]
X пусть ( х) - ориентация пространства Тх ( X), определяемая его комплексной структурой. Отображение х - - ( х) есть ориентация многообразия X; говорят, что она определена почти комплексной структурой. [12]
Расслоение Т ( X) отождествляется с ( вещественным) векторным расслоением, лежащим ниже комплексного векторного расслоения Т ( Xе), что наделяет X почти комплексной структурой класса Си; говорят, что она индуцирована данной структурой комплексно-аналитического многообразия на X. Эта почти комплексная структура удовлетворяет условиям ( i) - ( iii) из 8.8.5; в частности, операторы d и d из 8.8.5 определены. [13]
Расслоение Т ( X) отождествляется с ( вещественным) векторным расслоением, лежащим ниже комплексного векторного расслоения Т ( Xе), что наделяет X почти комплексной структурой класса Си; говорят, что она индуцирована данной структурой комплексно-аналитического многообразия на X. Эта почти комплексная структура удовлетворяет условиям ( i) - ( iii) из 8.8.5; в частности, операторы d и d из 8.8.5 определены. [14]
Гладкое семейство линейных операторов Jx: ТхX - - ТХХ называется почти комплексной структурой на X. Для этого имеются необходимые и достаточные условия полной интегрируемости. Но на поверхности каждая почти комплексная структура определяет ( единственную) комплексную структуру. [15]