Cтраница 2
Интегрируемая почти симплектическая структура называется симплектической структурой, или гамилътоновой структурой. Отметим, что если почти симплектическая структура допускает аффинную связность без кручения, то. Действительно, 2-форма со, определяющая почти комплексную структуру, параллеДьна относительно такой связности, а потому и замкнута. Диффеоморфизм / многообразия М па себя является автоморфизмом симплектической структуры, определенной 2-формой со, тогда и только тогда, когда / со со. Автоморфизм ( ип-финитезимальный) симплектической структуры называется ( ипфинитезимальным) симплектическим преобразованием. [16]
Отметим, что ориентация необходима для фиксирования направления U и определения отображения J. Условие на кривизну (2.2) выполняется для риыанова трехмерного многообразия лишь тогда, когда его бесе ледовый тензор Риччи 3 равен нулю. В таком случае метрика имеет постоянную кривизну, и почти комплексная структура является интегрируемой. Многообразие G - при этом является комплексной поверхностью. [17]
А именно, для почти кэлеровых многообразий авторы рассматривали задачу построения погружений ( одного такого многообразия в другое), являющихся одновременно изосимплектическими и изометрическими. Напомним, что почти кэлерово многообразие - это симплектическое многообразие, снабженное родственной почти комплексной структурой и, следовательно, рима-новой метрикой. Для таких погружений авторы статьи доказали некоторый / z - принцип, являющийся гибридом теоремы Громова 12.1.1 и теоремы Нэша-Кейпера о С1 - изометрических погружениях, см. теорему 21.2.1 ниже. [18]
Эти два комплексно-аналитических примера могут быть в некотором смысле обращены. В силу предложения 9.1.1 пространство J ( W) всех почти комплексных структур У: TW - TW, послойно совместных с сим-плектической формой со на IF, непусто и стягиваемо. В частности, на любом симплектическом многообразии ( М, со) существует послойно совместная с формой со почти комплексная структура /, и, следовательно, ( W, со, /) является почти кэлеровым многообразием. [19]
Твисторная теория подсказывает выход из этой, казалось бы, тупиковой ситуации. Вместо того, чтобы фиксировать какую-либо конкретную комплексную структуру на фазовом многообразии, рассмотрим их все одновременно или, иначе говоря, перейдем к твисторному пространству J всех, комплексных, структур J на фазовом многообразии, совместимых с его симплектической структурой. Это пространство, в отличие от исходного фазового многообразия, обладает канонической почти комплексной структурой, в терминах которой исходная задача квантования может быть переформулирована следующим образом. J на фазовом многообразии) отвечает свое фоковское пространство F ( M, J), так что вместо одного фоковского пространства мы получаем целое голоморфное расслоение Т - J таких пространств над твисторным пространством J. Квантование в его терминах означает, что существует канонический способ отождествления, слоев данного голоморфного расслоения, иначе говоря, на Т - J существует унитарная плоская ( или проективно плоская) связность. [20]