Cтраница 2
По теореме 6.5 тогда ф - - 0 в некотором & к и, кроме того, сужение отображения Л на это & к является ограниченным отображением. [16]
Осталось лишь заметить, что для разных а корректные отображения отрезков [ 0, а ] согласованы друг с другом ( сужение корректного отображения на меньший отрезок корректно, применяем единственность) и потому вместе задают некоторую функцию f: A - B, удовлетворяющую рекурсивному определению. [17]
Для отображений так жег как и для функций, вводятся понятия инъективного, сюръективного и биективного отображения, суперпозиции отображений, обратного отображения, образа и прообраза, сужения отображения на подкласс или на подмножество. [18]
Сужение отображения II 1 па У является тогда ограниченным линейным отображением У в банахово пространство Х [ и имеет единственное ограниченное линейное продолжение, скажем 1У: с. Но отображение IW: c Y - X и тождественное вложение c Y - X являются оба ограниченными линейными продолжениями тождественного вложения Y - - X и потому совпадают. [19]
Известно, что многозначное отображение, определенное на метрическом пространств и имеющее в качестве своих значений замкнутые подмножества из компактного метрического пространства, полунепрерывно сверху в топологии Вьеториса тогда и только тогда, когда оно имеет замкнутый график ( см. [ 24, с. Следовательно, сужение отображения ( х, а) - / / г ( х, а) на U X К полунепрерывно сверху. [20]
А, то П - ( с1 Y) есть подпространство в XD - Сужение отображения П на это подпространство является, таким образом, изоморфизмом банахова пространства IT clK) на банахово пространство cl У. Его обращение есть сужение отображения П - па cl У и потому ограничено. Часть только тогда, таким образом, доказана, причем установлено, что Sy - норма обратного оператора. [21]
При доказательстве необходимости приведенного условия показать, что Т: ф I - Лф есть непрерывное отображение пространства & в LP. Для этого достаточно рассмотреть сужение отображения Т на 2 ( R, К) ( К компактно) и использовать теорему о замкнутом графике. [22]
Пусть P-JPa, где Ра - локально конечное семейство компактных полиэдров. Если для каждого а сужение отображения /: Р - Q на подполиэдр Ра кусочно линейно, то f кусочно линейно. [23]
С - - У непрерывно, каково бы ни было компактное подмножество С пространства Z X X. Верно даже большее: сужение отображения Л-1) на более широкое множество ZX o, где о - проекция множества С в пространство X, непрерывно. [24]
Получены также конкретные отображения резольвент, связанные с послойным интегрированием, что позволяет провести указанное сравнение. Благодаря этому удается показать, что сужение отображения (0.4), определенного для объектов-гиперфункций, сводится к обычному преобразованию Пенроуза. При этом используется тот факт, что ( по теореме Фубини) дуальное отображение к послойному интегрированию обладает этим свойством. [25]
Выше уже указывалось, что для каждого у е F множество ext со Г ( у) не пусто и компактно. Поскольку множество А Y - замкнуто тогда и только тогда, когда для любого компакта К Y множество ХП Л замкнуто ( см. [19]), а отображение F: F - - compX полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда для любого замкнутого множества Е X множество ( у е Y; F ( y) E замкнуто, то отсюда следует, что отображение F полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда сужение отображения F на любое компактное подмножество К Y полунепрерывно снизу. [26]
Если группы щр конечны, то отображение г есть вложение. Тогда сужения отображений f, g на любой конечный подкомплекс Ya гомотопны. Так как группы ni ( F) конечны, то существует, лишь конечное чи-слэ различных гомотопических классов гомотопий, связывающих сужения отображений f и g на Ya. Опять-таки, по соображениям компактности, проективный предел, не пуст. [27]
Наряду с условием замкнутости оказывается полезным рас сматривать еще одно, несколько ослабленное условие. Это отображение линейно; оно называется замыканием отображения и и обозначается через гг. Существование отображения и и его область определения ( если и существует) зависят от Е и F и их топологий. Всякое сужение предзамкнутого отображения также является предзамкнутым отображением. [28]
Определим понятия включения и изоморфного вложения для произвольных графов. Для этого предварительно дадим определение сужению и продолжению отображений. Отображение FA подмножества Л в У, принимающее на произвольном элементе х е А значение Fx У, называют сужением отображения F на подмножество А. [29]
Если группы щр конечны, то отображение г есть вложение. Тогда сужения отображений f, g на любой конечный подкомплекс Ya гомотопны. Так как группы ni ( F) конечны, то существует, лишь конечное чи-слэ различных гомотопических классов гомотопий, связывающих сужения отображений f и g на Ya. Опять-таки, по соображениям компактности, проективный предел, не пуст. [30]