Cтраница 1
Сумма квадратов размерностей всех неприводимых представлений группы равна порядку группы. [1]
Сумма квадратов размерностей остальных трех представлений должна быть равна 12, откуда находим, что все они двумерны. Далее, из трех представлений по крайней мере одно должно быть вещественным, так как комплексные представления могут встречаться лишь взаимно сопряженными парами. Таким образом, одно из искомых представлений найдено. Составляя его прямые произведения с двумя комплексно сопряженными одномерными представлениями группы Т, найдем два остальных представления. [2]
Сумма квадратов размерностей остальных трех представлений должна быть равна 12, откуда находим, что все они двумерны. Поскольку элементы С2 и C Q находятся в одном классе, то x ( Ci) x ( CiQ ] - x ( Ci, откуда следует, что во всех трех представлениях х ( Съ) О - Далее, из трех представлений по крайней мере одно должно быть вещественным, так как комплексные представления могут встречаться лишь взаимно сопряженными парами. [3]
Сумма квадратов размерностей НП равна порядку h группы. [4]
Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы. [5]
Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений группы равна ее порядку. [6]
В результате единственным способом разбиения и на, совокупность сумм квадратов размерностей представлений может. [7]
Мы доказали тем самым применявшееся уже нами ранее свойство: сумма квадратов размерностей всех неприводимых представлений группы равна ее порядку. [8]
Из соотношений ортогональности (2.7) следует, что число таких векторов равно сумме квадратов размерностей неприводимых представлений. Известно, однако, что в пространстве размерности h существует ровно h линейно независимых ортогональных векторов. [9]
Кстати сказать, здесь прекрасно виден классический результат: Порядок группы G равен сумме квадратов размерностей ее неприводимых представлений. Вспомните, что для циклической группы в разложении циркулянта встречаются только линейные множители, потому что все представления одномерны. А когда мы берем симметрическую группу 5з, в разложении ее детерминанта возникает квадратичная форма в квадрате. [10]
Приведем без доказательства следующие теоремы, доказанные в теории групп: а) число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу классов группы, б) сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна числу элементов группы ( порядку группы), в) суммы диагональных элементов матриц представления для различных элементов одного класса совпадают, г) сумма характеров неприводимых представлений равна характеру того приводимого представления, из которого они образованы. Эта операция называется разложением характера приводимого представления на характеры неприводимых представлений. Чрезвычайно существенны теоремы о единственности указанного разложения и разложения порядка группы на квадраты размерностей неприводимых представлений. [11]
Сумма квадратов размерностей остальных трех представлений должна быть равна 12, откуда находим, что все они двумерны. Поскольку элементы Са и C2Q находятся в одном классе, то х ( Cz) 1 ( CZQ) - % ( Съ), откуда заключаем, что во всех трех представлениях х ( С2) - 0, Далее, из трех представлений по крайней мере одно должно быть вещественным, так как комплексные представления могут встречаться лишь взаимно сопряженными парами. Таким образом, одно из искомых представлений найдено. Составляя его прямые произведения с двумя комплексно сопряженными одномерными представлениями группы Т, найдем два остальных представления. [12]
Существует только конечное число неприводимых представлений конечной группы. Сумма квадратов размерностей неприводимых матричных представлений равна числу элементов группы. [13]
Как уже отмечалось, двузначные представления по существу вообще не являются истинными представлениями группы. К ним не относятся, в частности, соотношения, о которых шла речь в § 94, и когда в этих соотношениях ( например, в соотношении (94.17) для суммы квадратов размерностей неприводимых представлений) речь шла о всех неприводимых представлениях, то в их числе подразумевались только истинные, однозначные представления. [14]
Как уже отмечалось, двузначные представления по существу вообще не являются истинными представлениями группы. К ним не относятся, в частности, соотношения, о которых шла речь в § 94, и когда в этих соотношениях ( например, в соотношении ( 94 17) для суммы квадратов размерностей неприводимых представлений) шла речь о всех неприводимых представлениях, то в их числе подразумевались только истинные, однозначные представления. [15]