Cтраница 2
Рассматривая прямые суммы, мы действовали пока в фиксированном векторном пространстве V ] такие прямые суммы часто называют внутренними. Но иногда возникает необходимость в рассмотрении внешней прямой суммы U 0 W двух векторных пространств над одним и тем же полем Л, заранее никуда не вложенных в качестве подпространств. [16]
Чисто внешне они отличаются тем, что в одном из них говорится о пространствах, а в другом о подпространствах. Но если по каким-нибудь соображениям желательно особо подчеркнуть различие между двумя определениями прямой суммы и указать, какое из них имеется в виду, то в первом случае говорят о внешней прямой сумме, а во втором случае ( когда речь идет о подпространствах) - о внутренней прямой сумме. Чтобы наглядно представить себе прямую сумму, рассмотрим трехмерное пространство. Как известно, его подпространства можно изображать в виде геометрических фигур, проходящих через начало координат. [17]
Эта задача показывает, что прямую сумму нескольких подпространств было бы неудобно определить как объединение подпространств, из которых любые два не имеют общих элементов, кроме нулевого вектора. Если прямая сумма внешняя, то никаких затруднений не возникает: ее можно определить, взяв п векторных пространств ( над одним и тем же телом) и образовав наборы из п элементов, г-я компонента которых является элементом г - го векторного пространства. Задав на множестве этих наборов операции, состоящие в покомпонентном сложении и умножении на скаляры ( элементы тела), мы получим векторное пространство - внешнюю прямую сумму п выбранных нами векторных пространств. [18]
Подпрямое произведение называется тривиальным, если для некоторого i e 3 гомоморфизм фл1 оказывается изоморфизмом. Кольцо называется подпрямо неразложимым или монолитным, если всякое его представление в виде подпрямого произведения оказывается тривиальным. Это пересечение называется сердцевиной или монолитом кольца. Всякое кольцо представляется в виде подпрямого произведения подпрямо неразложимых колец. Внешняя прямая сумма колец является частным случаем подпрямого произведения. Подпрямое произведение, содержащее прямую сумму, называется специальным. [19]
Подпрямое произведение называется тривиальным, если для некоторого i e S гомоморфизм pnt оказывается изоморфизмом. Кольцо называется подпрямо неразложимым или монолитным, если всякое его представление в виде подпрямого произведения оказывается тривиальным. Это пересечение называется сердцевиной или монолитом кольца. Всякое кольцо представляется в виде подпрямого произведения подпрямо неразложимых колец. Внешняя прямая сумма колец является частным случаем подпрямого произведения. Подпрямое произведение, содержащее прямую сумму, называется специальным. [20]