Cтраница 1
Верхние и нижние суммы Дарбу могут не совпадать ни с какими интегральными суммами. [1]
Пределы верхних и нижних сумм при - - 0 определяются аналогично пределу интегральных сумм. [2]
Установленные свойства верхних и нижних сумм позволяют сформулировать в весьма простой форме необходимое и достаточное условие интегрируемости функции. Именно, имеет место следующая основная теорема. [3]
Множество значений всех верхних и нижних сумм для любых разбиений ограничено. [4]
Эти суммы обладают всеми свойствами верхних и нижних сумм одномерного случая ( § 47, свойства 1 - 4); все доказательства остаются прежними, и только ячейки Дй являются теперь измеримыми плоскими фигурами. Вместо длины b - а отрезка ( а, Ь) мы теперь всюду должны ставить площадь D области того же наименования. [5]
Свойства 1) - 3) верхних и нижних сумм позволяют установить следующее необходимое и достаточное условие интегрируемости функции f ( х, у), вполне аналогичное необходимому и достаточному условию существования определенного интеграла ( см. вып. [6]
Можно было бы дать и другое определение, вводя суммы, аналогичные верхним и нижним суммам Дарбу. [7]
Если функция ограничена, то, кроме сумм Коши - Римана, можно строить также верхние и нижние суммы Дарбу и определять n - мерный интеграл Римана, как общий предел верхних и нижних сумм Дарбу. [8]
Иногда, как и для функции одного переменного, определяют верхний и нижний интегралы как пределы соответственно верхних и нижних сумм Дарбу и их общее значение, если они совпадают, называют двойным интегралом Римана. [9]
Предоставляем читателю в качестве полезного упражнения самому убедиться на следующих примерах, что действительно при пользовании верхними и нижними суммами получается один и тот же предел. [10]
Если функция / ограничена на измеримом множестве то, как и в одномерном случае, можно определить верхние и нижние суммы Дарбу. [11]
Для доказательства теоремы достаточно проверить, что у любых двух разбиений области G на ячейки, диаметры которых меньше 8, верхние и нижние суммы одного разбиения сколь угодно мало отличаются от одноименных сумм другого разбиения, если только число 8 выбрано достаточно малым. [12]
Если функция ограничена, то, кроме сумм Коши - Римана, можно строить также верхние и нижние суммы Дарбу и определять n - мерный интеграл Римана, как общий предел верхних и нижних сумм Дарбу. [13]
Возможно и другое обобщение, порою полезное, но не столь очевидное. При составлении верхних и нижних сумм можно брать в качестве высоты каждого прямоугольника не точно наибольшее или наименьшее значение функции f ( x) в соответствующем частичном интервале, а несколько большее или меньшее значение при условии, что с утончением разбиения наибольшая разность высот стремится к нулю. [14]
Из установленных выше свойств интегральных сумм и верхних и нижних сумм вытекает следующая основная теорема. [15]