Cтраница 2
Выберем теперь разбиение отрезка [ а, Ь ], состоящее из указанных выше разбиений для р 1 отрезков непрерывности g ( x), и добавим р отрезков, окружающих точки разрыва. Для этого разбиения разность 5 - s верхних и нижних сумм будет состоять из разностей SW - sft для р 1 отрезков непрерывности и для р отрезков, окружающих точки разрыва. [16]
Как уже говорилось, из наглядных геометрических представ лений вытекает, что интеграл численно равен площади криво линейной трапеции. С другой стороны, очевидно, что если раз ность между верхними и нижними суммами может быть сделана как угодно малой, то эти суммы могут стать как угодно близки ми к площади криволинейной трапеции. [17]
За исключением редких случаев, мы будем иметь дело лишь с монотонными функциями и или с кусочно-непрерывными функциями, такими, что для них множества Ап сводятся к объединению конечного числа интервалов. При этом суммы в (1.9) представляют собой, с точностью до порядка суммирования, верхние и нижние суммы, используемые при элементарном определении обычных интегралов. [18]
Итак, при размельчении разбиений верхние суммы не возрастают, а нижние суммы не убывают. Это обстоятельство становится особенно понятным, если обратиться к геометрическим представлениям, связанным с верхними и нижними суммами. [19]
Как и в случае одной или двух переменных, не всякая ограниченная функция f ( x, у, z) интегрируема. Для нахождения достаточных условий существования тройного интеграла используют обычно, как и в случае двойных или однократных интегралов, верхние и нижние суммы Дарбу. [20]
Мы только что рассматривали определенный интеграл как число, заданное площадью и, стало быть, до некоторой степени заранее известное, а затем, задним числом, представили его в виде предела. Теперь мы обратим порядок рассмотрения. Оставим ту точку зрения, будто мы интуитивно уже знали, что всякой криволинейной трапеции можно отнести указанным образом меру площади и как это сделать. Наоборот, мы будем исходить из сумм, составленных чисто аналитически, вроде определенных ранее верхних и нижних сумм, и потом докажем, что эти суммы стремятся к определенному пределу. [21]