Cтраница 2
Пособие знакомит читателя с понятием интегрального уравнения и классификацией интегральных уравнений. Доказана теорема существования собственных значений и собственных функций однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Рассмотрены вопросы разложимости по собственным функциям, задача Штурма-Лиувилля, неоднородные уравнения типа Вольтерра, интегральные уравнения Фредгольма первого рода. Приводятся некоторые сведения о численных методах теории интегральных уравнений. Указан ряд конкретных физических задач, приводящих к интегральным уравнениям. [16]
Для этого введена глава, в которой излагаются основы теории вполне непрерывных операторов в бесконечномерном евклидовом пространстве. На основе этой теории доказано существование собственных значений и собственных функций однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. [17]
Спектральные теоремы справедливы над любым вещественно замкнутым полем; наши доказательства сохраняются без изменений. Кроме того, эти доказательства разумным образом близки к тем, которые могли бы быть даны в анализе для гильбертовых пространств и компактных операторов. Существование собственных значений и собственных векторов, однако, должно быть доказано другим методом, например, с использованием теоремы Гельфанда, которую мы фактически доказали в гл. [18]
В силу теоремы 8.6 из теории Фредгольма следует, что эллиптический оператор вида (8.1) имеет не более чем счетное число собственных значений. В этом разделе мы дадим прямое доказательство того, что самосопряженный оператор имеет собственные значения, и рассмотрим их свойства. Представляет интерес дать здесь доказательство существования собственных значений несмотря на то, что этот факт следует и из результатов классического функционального анализа. [19]
По своему характеру книга близка к запросам инженеров, занимающихся вычислениями и осваивающих вычислительную математику, а также аспирантов и научных работников в области техники. Коллатца, поскольку многие из сообщаемых автором сведений относятся к малоизвестным. Это касается, например, вопроса о существовании собственных значений, применения минимаксимального принципа и двусторонних оценок собственных значений на основе итерационного процесса. [20]
Очевидно, что если производная р везде положительна и р / PU. Штурма - Бохера, следуют немедленно из этой теоремы и рассуждений предыдущего пункта, если просто положить К - с-2. Каждому собственному значению с2 при постоянном k2 соответствует, конечно, собственное значение со2; следовательно, нет необходимости обсуждать вопрос о существовании собственных значений со2 отдельно. [21]
Техника вронскианов оказывается также достаточно гибкой, чтобы можно было развить для уравнения Кортевега - де Вриза и его аналогов теорию преобразований Бэклунда и Дарбу, дать компактные формулы для законов сохранения и построить для найденных уравнений гамильтоновский формализм. Последнему пункту, на наш взгляд, в монографии уделяется недостаточное внимание. Книга Калоджеро и Дегаспериса богата материалом по квантовой теории рассеяния, в которой оба автора являются видными специалистами. Так, они подробно рассматривают тонкий вопрос о спектральной особенности при нулевой энергии приводят интересные теоремы о критериях существования собственных значений и их числе, подробно рассматривают потеншалы, для которых прямая задача рассеяния имеет точное решение. Все это делает книгу ценным пособием для справок по одномерной квантовой теории рассеяния. [22]
Я должен здесь отметить, что подобное обращение в нуль коэффициента при у и появление мнимых значений скорости распространения имеют место и в общем случае, а не только для осциллятора. Это - как раз аналитическая причина того, что посредством задания одного условия ограниченности искомой функции выделяются точные собственные значения. Волновое уравнение с вещественной скоростью распространения, как известно, означает следующее: чем меньше значение функции в какой-либо точке среднего значения в окрестности этой точки, тем быстрее возрастает значение функции, и наоборот. Тем самым в данном случае, аналогично более наглядному сходному результату для уравнения теплопроводности, с течением времени происходит сглаживание и невозможен неограниченный рост функции. Таким образом ясно, что удовлетворяющая этому уравнению функция легко может оказаться неограниченно возрастающей. Чтобы избежать подобного роста, приходится использовать значительные ограничения, что уже приводит к точным собственным значениям. В самом деле, уже на рассмотренном в первом сообщении примере видно, что требование существования точных собственных значений становится сразу невыполнимым, если только выбрать там величину Е положительной, благодаря чему становится действительной во всем пространстве волновая скорость распространения. [23]