Существование - отображение
Cтраница 2
ММ ( М М), очевидно, долит область w ( w) на дне правильные замкнутые параболические области и при птом входит и границу обеих этих параболических областей. На основании JIPMMEJ 10 нетрудно убедиться в существовании отображения w на w, обладающего указанными свойствами. [16]
Теорема существования является центральной ( в теории ( квазиконформных отображений. Приведенное выше доказательство теоремы 8 следовало методу М. А. Лаврентьева ( с соответствующими дополнениями), примененному им для доказательства существования отображений с заданными непрерывными характеристиками, на которое мы опирались. Аль-форсом [2] и основывается на применении некоторых сингулярных интегралов ( такого сорта интегралы мы будем рассматривать дальше в гл. [17]
Фактически, мы используем здесь малость взаимодействия: поток на торе не произволен, а близок к вращениям по обеим координатам. Это обеспечивает как отсутствие состояний равновесия, так и замкнутых траекторий, не охватывающих тор, и, следовательно, существование отображения Пуанкаре. [18]
Прежде всего здесь выделяются классы иммерсий, или погружений, обобщающих вложения; их классификация сведена к гомотопич. Важную роль, в частности, в вопросах устойчивости ( стабильности) и в исследовании типичных особенностей отображений играет понятие трансверсальности отображения вдоль подмногообразия. Существование транс-версальных отображений обеспечивается теоремами типа Сарда теоремы. R, произвольных банаховых ( или гильбертовых) пространств и определения соответствующих дифференциальных структур. При этом требуется выполнение разумных в отношении приложений дополнительных условий, напр. [19]
Наряду с условием замкнутости оказывается полезным рас сматривать еще одно, несколько ослабленное условие. Это отображение линейно; оно называется замыканием отображения и и обозначается через гг. Существование отображения и и его область определения ( если и существует) зависят от Е и F и их топологий. Всякое сужение предзамкнутого отображения также является предзамкнутым отображением. [20]
К называется цепью, если К Э Къ ( с. Обратим внимание на родство этого определения с тем частным случаем принципа селекции, когда рассматриваемое семейство множеств состоит из единственного множества К. Разумеется, формально здесь нет этого случая, пос-скольку Дедекинд вводит пока чисто номинальное определение и не затрагивает проблему существования цепей; когда же он перейдет к арифметике, то существование множественнозначного отображения, переводящего К в К, - причем К окажется правильным подмножеством множества К - ему потребуется. Но уже здесь он косвенно намекает на эту связь, не забывая указать, что само определение цепи имеет смысл только по отношению к определенному отображению ср ( с. [21]
Нельзя, однако, согласиться с заключительной частью приведенного отрывка, где Дедекинд утверждает, что ему удалось отбросить нестандартные модели просто рассмотрением цепей. Что это далеко не так уж просто, мы видели несколько выше. Но есть и еще момент, о котором Дедекинд умолчал как в книге [3], так и в письме Кеферштейну. В приведенном ранее определении 71 этой книги фигурирует основной элемент 1, последовательным отображением которого получаются натуральные числа. Его существование обеспечивается тем, что система Si предполагается бесконечной в соответствии с дедекиндовским определением бесконечного множества, когда требуется существование отображения множества в свое правильное подмножество. [22]
 |
Подобие конформного преобразования. [23] |
Взаимно однозначное отображение, обладающее свойствами сохранения углов по величине и направлению, постоянства растяжений малых окрестностей, называется конформным отображением. Из предыдущего следует, что отображение с помощью аналитической функции конформно во всех точках, в которых производная отлична от нуля. Конформное преобразование есть преобразование подобия в малом, в том смысле, что оно сохраняет форму отображаемой малой фигуры. Так, с указанной точностью малый круг переходит в малый круг, а малый треугольник ABC перейдет в малый треугольник А В - уС ( рис. 5.4), у которого соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. При практическом использовании конформных отображений наиболее употребительна задача отыскания функции, реализующей конформное отображение заданной области D на заданную область А. При этом возникают, естественно, вопросы, связанные с существованием отображения, его единственностью. [24]
Страницы: 1 2