Cтраница 2
В последние годы при рассмотрении вопроса о существовании решения ладачи Дирихле для дивергентных эллиптических ураннений предпочтение отдается функциональным методам. При этом доказывается существование обобщенного решения, для которого можно при определенных условиях а гладкость коэффициентом, граничной функции и границы области устанавливать различные теоремы о гладкости. [16]
Оказалось, что для р 2 при выполнении некоторых естественных условий и при надлежащем выборе параметра е 0 этот процесс сходится в энергетической метрике, то есть в W2O ( Л), начиная с любого достаточно гладкого начального приближения. Таким образом, заодно устанавливается факт существования обобщенного решения. [17]
DA) решения не существует. Однако в описанном выше случае всегда - гарантируется существование обобщенного решения. К понятию обобщенного решения приходят следующим образом. [18]
Теория псевдоаналитических функций и квазиконформных отображений в принципе позволяет обобщить изложенный метод на случай дозвукового течения сжимаемого газа. В монографии [66] 1) это достигнуто путем доказательства существования обобщенного решения задачи Гильберта ( содержащей задачу Дирихле) для квазилинейного равномерно эллиптического уравнения, описывающего квазиконформное отображение. [19]
В этих примерах установлено, что даже при аналитических данных задачи обобщенное решение ( с конечной энергией) может не быть непрерывным. Естественно возникает вопрос, как сузить класс эллиптических уравнений и систем, чтобы при т 3 из существования обобщенного решения вытекала его гладкость. [20]
Однако этот класс недостаточно широк, чтобы включать все обобщенные решения. Мы рассмотрим здесь другой класс, который, хотя и не исчерпывающим образом, демонстрирует как математические, так и физические следствия существования обобщенных решений. [21]
Как уже было сказано, элемент UQ называется обобщенным решением данного уравнения. Следовательно, в случае, когда А - положительно определенный оператор в DA, существование минимума F в Н А и тем самым ( по определению) также существование обобщенного решения уравнения Au f доказано. [22]
В работе [10] проблема существования решения системы уравнений термоупругости рассматривается для анизотропного неоднородного тела. Задача определяется заданием смешанных однородных граничных условий для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока и начальных данных для перемещений, скорости перемещений и температуры. Условия, при которых рассматривается существование единственного решения, следующие: 1) существенные нижние границы для плотности и удельной теплоемкости больше нуля, 2) выполняется неравенство Клаузиуса - Дюгема о положительности произведения теплового потока на градиент температуры, 3) оператор теории упругости является положительно определенным для принятых граничных условий. Существование единственного обобщенного решения на конечном промежутке времени доказано в пространстве функций с конечной энергией, в котором перемещения суммируемы с квадратом и имеют суммируемые с квадратом первые производные, температура суммируема с квадратом и суммируем интеграл по времени от квадратов производных температуры по координатам. [23]
Но это невозможно, так как площадь нормального изображения многогранника равна fodxi... Следовательно, предельная гиперповерхность F однозначно проектируется на замкнутую область G, а значит, на границе области G выполняется краевое условие z - гр. Итак, существование обобщенного решения задачи Дирихле доказано. [24]