Cтраница 2
Существование функционала гарантирует, что матрица системы уравнений, из которой находятся параметры задачи, является симметричной. Как неоднократно отмечалось, это выгодно в вычислительном отношении. С другой стороны, симметричность матрицы системы дискретных уравнений всегда влечет существование вариационного функционала. [16]
Прежде чем доказывать лемму, посмотрим, как из нее вытекает теорема. Так как мы уже знаем, что Qo 6 0, Qi fi i имеют такой вид, то существование функционалов 9, п 0, вытекает из простой индукции. [17]
История вариационного комплекса и, в частности, обратной задачи вариационного исчисления довольно интересна. Гельм-гольц в работе Helmholtz [1] впервые предложил задачу выяснения того, какие системы дифференциальных уравнений являются уравнениями Эйлера - Лагранжа некоторой вариационной задачи, и нашел необходимые условия для случая одного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. В работе Mayer [1] получено обобщение условий Гельмгольца на случай лагранжианов первого порядка, содержащих одну независимую переменную и несколько зависимых, а также доказано, что они достаточны, чтобы гарантировать существование подходящего функционала. В двух серьезных статьях на эту тему Hirsch [1], [2] Хирш распространил эти результаты на случаи лагранжианов высших порядков, содержащих либо одну независимую и несколько зависимых переменных, либо две или три независимых и одну зависимую переменные. Работы Хирша содержат также дальнейшие результаты о том, каких порядков производные могут возникать в лагранжиане, а также о проблеме интегрирующего множителя: когда можно умножить дифференциальное уравнение на дифференциальную функцию так, чтобы превратить его в уравнение Эйлера - Лагранжа. Вайнберг [1], где приводится современный вариант. [18]