Cтраница 3
В работе [242] особое внимание было обращено на отработку методики расчета. В численных расчетах были использованы различные абсолютно устойчивые неявные однородные разностные схемы: с центральными разностями, монотонные схемы А. А. Самарского второго порядка точности и др. Расчеты проводились на сетках ( 20 X 30), ( 30 X 40), ( 40 X 60) и ( 60 X 70) до тех пор, пока не наблюдалась внутренняя сходимость схем. [31]
Пиппенджер и Валиант [8] сумели доказать для некоторых систем монотонных функций наподобие системы функций сортировки и булевой свертки, что любая монотонная схема, реализующая такую систему, должна представляться сдвигающим графом ( a shifting graph), и поэтому должна содержать Q ( nlogn) элементов по числу Q ( ttlogn) вершин графа. [32]
С другой стороны, анализ, выполненный для линеаризованной системы (2.4), и расчеты, которые проводились для нелинейных уравнений газовой динамики, показали, что применение п.м.п. для вычисления Ij в точках j дает практически монотонную схему. Так как при использовании п.м.п. шаблон и коэффициенты разностных уравнений зависят от решения, то на СЗ упомянутая выше теорема [1] не распространяется. Для произвольного неравномерного разбиения, чтобы обеспечить аппроксимацию, нужно находить GJ и а - по параметрам в j, что вводит в их определение дополнительную итерацию. [33]
Существенно, что при этом ошибки аппроксимации пропорциональны ширине размазанного разрыва. Данное, важное для теории разностных схем утверждение, тем не менее, не делает бессмысленными усилия по построению монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации. Во-первых, монотонные схемы повышенного порядка меньше размазывают разрывы, особенно контактные и скачки малой интенсивности. Во-вторых, обычно ошибки вызванные разными причинами, суммируются. Поэтому на практике следует стремиться к уменьшение всех ошибок и не в последнюю очередь - ошибок аппроксимации в областях гладкого решения. В-третьих, те же разностные схемы лежат в основе методов расчета течений неидеального газа, где повышенный порядок аппроксимации в областях существенного влияния вязкости и теплопроводности особенно важен. [34]
Таким образом, фактически немонотонность проявляется на сетках со сравнительно большим шагом. Особенно сильно она сказывается при расчетах многомерных задач, ибо для них скорость или объем оперативной памяти даже лучших ЭВМ не позволяют брать малый шаг. В то же время расчет таких задач по монотонным схемам с погрешностью О ( т Л) дает хорошее качественное поведение разностного решения, но невысокую точность. [35]
Схема коррекции потоков является двухшаговой гибридной схемой, состоящей из комбинации схем 1-го и 2-го порядков аппроксимации. Рассчитываются предварительные данные по схеме 1-го порядка, а затем фильтруются коррекции 2-го порядка с использованием ограничений потоков для предотвращения появляющихся новых экстремумов. Аналогичная идея гибридной схемы была использована в работах [266], [329] и состоит в том, что берется схема 2-го порядка аппроксимации и явно переключается в монотонную схему 1-го порядка, когда встречаются экстремальные точки и разрывы. [36]
Гибридные разностные схемы являются одним из промежуточных этапов развития численных методов ( разд. Под термином гибридность понимается возможность численного метода менять свои свойства, в частности, порядок аппроксимации. Введение гибридности позволяет вести расчеты методом сквозного счета по схеме второго порядка точности в областях гладкости решения, а в областях больших перепадов функций переходить к расчетам по монотонной схеме первого порядка точности. [37]
В разделе 3 методы работы [13] применяются для получения нашей новой нижней оценки. Определяется мера сложности, которая учитывает только элементы Л, причем в схемах допускается свободное вхождение некоторых функций. Для получения нижних оценок для монотонной сложности достаточно нахождения нижних оценок для указанной новой меры сложности. Поскольку допускается свободное вхождение некоторых функций и элементов V, становится возможным преобразовывать минимальную монотонную схему, реализующую систему млм ез увеличения ее сложности в смысле рассматриваемой новой меры. В результате этих преобразований получается схема, реализующая / лш о строении которой многое известно. [38]
Существенно, что при этом ошибки аппроксимации пропорциональны ширине размазанного разрыва. Данное, важное для теории разностных схем утверждение, тем не менее, не делает бессмысленными усилия по построению монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации. Во-первых, монотонные схемы повышенного порядка меньше размазывают разрывы, особенно контактные и скачки малой интенсивности. Во-вторых, обычно ошибки вызванные разными причинами, суммируются. Поэтому на практике следует стремиться к уменьшение всех ошибок и не в последнюю очередь - ошибок аппроксимации в областях гладкого решения. В-третьих, те же разностные схемы лежат в основе методов расчета течений неидеального газа, где повышенный порядок аппроксимации в областях существенного влияния вязкости и теплопроводности особенно важен. В [28] реализована явная монотонная схема, обеспечивающая на регулярных сетках второй порядок аппроксимации гладких решений, зависящих от двух переменных. Позднее в [29] построена явная маршевая схема второго порядка аппроксимации для расчета пространственных сверхзвуковых течений. В силу отмеченного свойства получившаяся в результате схема, названная в [30] схемой Годунова-Колгана ( СГК), сняла остроту проблемы построения разностных сеток. Как это делается, описано в Главе 7.9. Первые же примеры применения СГК [30-32] продемонстрировали ее эффективность. [39]