Cтраница 2
Выражение 1п ( 1 /), находящееся в знаменателе числа га0 ( е), называется скоростью сходимости итерационного метода. Качество различных итерационных методов сравнивают обычно по их скорости сходимости: чем выше скорость сходимости, тем лучше метод. [16]
Однако при таком способе коррекции оказываются нарушенными общие материальные балансы по компонентам для всей колонны, что существенно сказывается на скорости сходимости итерационного метода. [17]
Сравнимые успехи были достигнуты в развитии итерационных методов для решения разреженных линейных систем типа тех, что получаются из дифференциальных уравнений в частных производных; здесь алгоритмические достижения прогрессировали одновременно с углублением понимания свойств сходимости итерационных методов. Что касается плотных систем, то - здесь развитие новых алгоритмов было менее значительным, но наше понимание устойчивости стандартных методов претерпело полную трансформацию. [18]
Все итерационные методы работают лучше свер-точных при неполных исходных данных, измерениях в ограниченном телесном угле и при малом числе проекций. Сходимость итерационных методов, очень быстрая на первых итерациях, на последующих итерациях сильно замедляется, причем алгоритмы типа ART сходятся значительно быстрее алгоритмов типа SIRT. Алгоритмы квадратичной оптимизации типа ILST занимают по скорости сходимости промежуточное место. Алгоритмы типа SIRT наиболее устойчивы к зашумленности исходных данных и удовлетворительно работают в тех случаях, когда другие методы дают недопустимые искажения. Алгоритмы типа ART хорошо работают даже при большой недоопределенности исходной СЛАУ ( га n / З), а также для высококонтрастных объектов. При этом большое значение имеет использование априорной информации, которую практически невозможно встроить в сверточные алгоритмы. [19]
Число итераций заранее не известно. Оно зависит от скорости сходимости итерационного метода и принятых исходных приближений переменных. [20]
Вспомним, что р ( А) обозначает спектральный радиус матрицы А, который представляет собой модуль наибольшего ( по абсолютной величине) собственного значения матрицы А. Мы сформулируем без доказательства основную теорему, которая показывает, что матрицы I - НА и В определяют сходимость итерационного метода. [21]
Учет сетевого характера задачи расчета потоке - распределения-позволяет резко снизить размерность системы уравнений, которую фактически надо решать, и дает возможность компактного представления исходной и промежуточной информации. Сходимость итерационных методов расчета гидравлических сис-шм, как указывалось выше, связана с введением поправок. Если значения проправок стремятся к нулю, то метод сходится, в противном случае - нет. [22]
Следует также отметить одну особенность моделирования разработки нефтяных месторождений. При решении плоских задач вытеснения для больших площадей общее число ячеек может быть весьма значительным. Однако сходимость итерационных методов будет определяться не этим числом ячеек, а тем, на которое разбиты элементы, системы заводнения. Действительно, экранирующее действие нагнетательных и добывающих скважин приведет к тому, что вся область течения будет разбита на ряд подобластей, ограниченных линиями минимальных давлений. [23]
Метод сопряженных градиентов по своей идее ( теоретически) является прямым методом, поскольку при sn, где п - порядок матрицы Л, система векторов Л - о всегДа линейно зависима, и, следовательно, при некотором k процесс должен заканчиваться получением точного решения. С другой стороны, при реализации метода сопряженных градиентов на ЭВМ в случае матриц высокого порядка, как правило, уже через несколько десятков итераций из-за нелинейности возникает явление численной неустойчивости процесса ортогонализации и реальный процесс перестает отражать свойства реализуемого метода. При такой постановке скорость сходимости метода может быть оценена через скорость сходимости циклического чебышевского итерационного метода. [24]
Метод штрафа обладает следующим недостатком. Оказывается, что при больших А структура линий уровня ФА, как правило, такова, что сходимость методов минимизации существенно замедляется. Искусство применения метода штрафа при решении конкретных задач состоит в удачном выборе функции ФА такой, что при заданной близости значений нижней грани А - А е замедление скорости сходимости применяемого итерационного метода будет минимальным. [25]
Сущность итерационных методов заключается в многократном повторении одного и того же простого алгоритма, который дает результат, постепенно приближающийся к точному решению. Итерации начинаются с задания начального приближенного решения. Затем начальные значения переменных в узлах сетки последовательно изменяются, пока не достигается заданная точность решения. Быстрота сходимости итерационного метода сильно зависит от степени точности начальной аппроксимации. Поэтому интуиция инженера может оказать большое влияние на эффективность вычислительного процесса. [26]
В третьей главе изучаются итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Особое внимание обращено на изучение поведения нормы вектора ошибки на первых итерациях и построение расчетных формул алгоритмов различных итерационных мгетодов. Проиллюстрированы различные приемы доказательства сходимости, причем много задач посвящено методам расщепления. Решения спектральных задач второй главы используются для получения оценок ассимптотических скоростей сходимости различных итерационных методов, кроме того, эти же методы сравниваются по числу арифметических операций, необходимых для реализации одного шага итерации. [27]
В то же время отметим, что применение итерационной схемы Ньютона для решения конечно-разностных уравнений (7.45) не обеспечивает выполнение законов сохранения на промежуточных итерациях. Показано, что выполнение законов сохранения с заданной относительной точностью еще не гарантирует того, что концентрации при этом будут находиться с такой же относительной точностью. Особенно неточно при этом могут находиться концентрации веществ, содержание которых в смеси мало. Поэтому чтобы гарантировать заданную относительную точность расчета всех концентраций ( в том числе и токсичных), надо следить за тем, чтобы с необходимой для этого точностью удовлетворялись в первую очередь те из уравнений (7.45), которые соответствуют наименьшим компонентам. Кроме того, отмечено, что сходимость итерационных методов, применяемых для решения (7.45), практически всегда улучшается, если значения ctn i во всех промежуточных итерациях точно удовлетворяют законам сохранения. [28]
Подобное напряжение для резистивной взаимной цепи всегда положительно. Матрицы с неположительными внедиагональными элементами, которым соответствуют положительные обратные матрицы, называют М - матрицами. Симметричные Af-матрицы называют матрицами Стилтьеса. Таким образом, Y-матрицы линейных взаимных цепей являются матрицами Стилтьеса, а Y-матрицы невзаимных цепей являются, как правило, М - матрицами. Заметим, что спектр Af-матриц - вещественный положительный. Это обстоятельство существенно при решении систем уравнений узловых напряжений ( узловых уравнений), поскольку гарантирует сходимость наиболее распространенных итерационных методов и позволяет оценить ее скорость. [29]
Модификации итеративных методов, позволяющих определить параметры нормального режима, весьма разнообразны. Они различны по своей трудоемкости и эффективности и для выбора наиболее рационального в каждом конкретном случае важно знать свойства различных методов. Здесь, в частности, исключительную роль играет обусловленность матриц. В свою очередь, обусловленность матриц коэффициентов уравнений, узловых потенциалов и узловых проводимостей зависит от выбора базисного узла. Обусловленность матриц коэффициентов уравнений контурных токов и контурных сопротивлений зависит от выбора системы независимых контуров. Известно, что скорость сходимости итерационных методов зависит от степени обусловленности матрицы. Как правило, в случаях, когда матрицы хорошо обусловлены, сходимость итерационных процессов быстрее, чем в случае их плохой обусловленности. [30]