Cтраница 2
Когда число отличных от нуля слагаемых ( членов) ряда ( 31) бесконечно, сумма ( 31) в обычном понимании не имеет смысла. Тем не менее понятие сходимости числовой последовательности позволяет бесконечному процессу сложения в выражении ( 31) придать вполне определенный содержательный смысл. Это делается следующим образом. [16]
На наш взгляд, не следует преувеличивать значение полноты алгоритма поиска вывода. Это - предельное свойство и схоже со свойством сходимости числовой последовательности: как бы дурно ни вела себя последовательность на начальном отрезке, имеет значение лишь ее поведение в окрестности бесконечности. Если учесть ресурсные ограничения и то, что полнота алгоритма поиска вывода не гарантирует успеха за минимальное количество шагов, то предпочтение следует дать более сообразительным, хотя возможно неполным алгоритмам. [17]
Термин необходимо в формулировке теоремы говорит о том, что если последовательность сходится, то она является фундаментальной. Термин достаточно означает, что если последовательность является фундаментальной, то она является и сходящейся. Поэтому данная теорема устанавливает эквивалентность понятий сходимости числовой последовательности и ее фундаментальности. Отметим, что в математике особое значение имеют теоремы, формулирующие необходимые и достаточные условия, при которых имеет место тот или иной факт. В соответствии со сказанным выше доказательство теоремы распадается на доказательство двух утверждений - необходимости и достаточности. [18]