Тензор - кривизна - риман
Cтраница 1
Тензор кривизны Римана характеризует ход изменения с течением собственного времени определенной величины - расстояния между близкими и почти параллельными геодезическими. В этом смысле он показывает, как геометрия влияет на материю. [1]
Тензор кривизны Римана R / ki, ассоциированный с многообразием специальной теории относительности, обращается в нуль, и прямолинейные геодезические линии многообразия соответствуют траекториям частиц в отсутствие гравитационного поля. Если, следовательно, многообразие, характеризуемое квадратичной формой (103.1), сопряжено с непрямолинейными траекториями, то тензор кривизны Римана не должен обращаться в нуль. [2]
Это - тензор кривизны Римана - Кристоффеля; его компоненты вычисляются через компоненты метрического тензора. [3]
Равенство нулю тензора кривизны Римана - Кристоффеля является необходимым и достаточным условием того, чтобы мир был плоским и в нем существовали галилеевы ( декартовы) глобальные системы координат. Необходимость этого совершенно очевидна; наглядный же подход к доказательству достаточности состоит в следующем. Если тензор Римана - Кристоффеля равен нулю, то в силу (1.72) и (1.74) параллельный перенос не зависит от выбора пути. Поэтому, взяв в какой-либо точке четверку взаимно ортогональных векторов ( тетраду), можно однозначно построить с помощыо параллельного переноса во всем мире поле тетрад, повсюду ортогональных друг другу и покрывающих сразу все пространство-время. Система координат, образованная этими тетрадами, везде непрерывна ввиду указанной однозначности, и ее следует назвать голоном-ной. В этой декартовой системе метрика принимает сразу всюду вид (1.25), п чем и требовалось убедиться. Отражением того факта, что в искривленном мире неоднозначность параллельного переноса препятствует распространению декартовой системы на все пространство, является неголоном-ность в этом случае связанной с тетрадами системы координат, которая не образует координатной сетки над пространством-временем. Локально мы всегда можем опираться на ортогональный репер ( тетрады), и это соответствует возможности выбора локально геодезических систем. Так как подобные системы можно распространять вдоль линий, то тетрадные системы координат успешно работают на бесконечно узких полосках пространства-времени. Однако лишь только мы попытаемся сшить эти полоски в искривленном мире, как они сразу же разъезжаются, так как их принципиально невозможно согласовать друг с другом при отличном от нуля тензоре Римана - Кристоффеля. [4]
 |
Параллельный перенос вектора по двум разным путям. [5] |
Этот тензор называется тензором кривизны Римана - Кристоффеля. Очевидно, если тензор кривизны R равен нулю, то параллельный перенос не зависит от выбора пути. [6]
Хотя это 3 1-разложение тензора кривизны Римана может показаться чрезвычайно сложным, оно очень плодотворно и важно. Каждый отдельный элемент в этом разложении имеет свою собственную физическую интерпретацию и физическую роль. Куда меньше читателям известно о пространственной метрике gik ( хотя мы уже имели дело с эффектами, связанными с ней, на диаграммах погружения в гл. [7]
Это означает, что так называемый тензор кривизны Римана, тензор четвертого ранга, который содержит производные метрического тензора, должен обращаться в нуль. Таким путем могут быть выведены также усложненные условия совместности для нелинейных деформаций. [8]
То, что число независимых компонент тензора кривизны Римана равно 20, следует из его свойств симметрии, указанных в уравнениях ( 48) и ( 60) гл. [9]
Пусть Мп снабжено симметричной аффинной связностью. Если ее тензор кривизны Римана отличен от нуля ( в какой-то системе координат), то на Мп нельзя ввести локально евклидовы координаты. [10]
Хорошо известно, что риманова метрика в общем случае не приводится локальной заменой координат к диагональному виду сразу в целой окрестности точки. Этому может воспрепятствовать отличие от нуля тензора кривизны Римана. А именно если в данной точке отлична от нуля хотя бы одна его компонента, то никакими локальными заменами координат нельзя привести метрику к диагональному ( единичному) виду сразу во всех точках любой, сколь угодно малой открытой окрестности данной точки. [11]
Тензор кривизны Римана R / ki, ассоциированный с многообразием специальной теории относительности, обращается в нуль, и прямолинейные геодезические линии многообразия соответствуют траекториям частиц в отсутствие гравитационного поля. Если, следовательно, многообразие, характеризуемое квадратичной формой (103.1), сопряжено с непрямолинейными траекториями, то тензор кривизны Римана не должен обращаться в нуль. [12]
Эйнштейн полемизирует с Абрагамом 5, считавшим, что поле тяжести есть абсолютная система отсчета, что отказ от постоянства скорости света является отказом от теории относительности и что принцип эквивалентности не может служить основой теории. В этой работе даны уравнения второго порядка для гравитационного поля, установлена связь гравитационного поля с фундаментальным тензором gjxv и приведен тензор кривизны Римана. [13]
Коэффициенты gy не зависят от линейного элемента, но в общем случае изменяются от точки к точке. Риману удалось несколько продвинуться в разработке такого рода геометрии, разительно отличающейся по своей основной тенденции от Эрлангенской программы Клейна; в частности, Риман вывел то, что сейчас принято называть тензором кривизны Римана. Именно этот аппарат, о котором Эйнштейн узнал от своего друга математика Марселя Гроссмана из Цюриха, позволил Эйнштейну записать уравнение движения планеты и дифференциальные уравнения гравитационного поля, не обращаясь к опыту, в чисто абстрактной и тем не менее необычно привлекательной форме. Природа милостиво подтвердила свои законы, высказав свое одобрение с такой ясностью, какой от нее вряд ли когда-либо удавалось добиться. [14]
Пространство-время Минковского в согласии с работой [210] является частным случаем четырехмерного риманова пространства. Поскольку все метрические коэффициенты псевдоевклидова пространства постоянны, то это означает, что все соответствующие скобки Кристоффеля тождественно равны нулю. Отсюда тензор кривизны Римана ( Римана-Кристоффеля) равен нулю и пространство-время Минковского в этом смысле становится плоским, если воспользоваться аналогией с евклидовой плоскостью. [15]
Страницы: 1 2