Cтраница 2
Одна из ее полусфер, а именно, полусфера, задаваемая неравенством / J О, совпадает с двумерным диском DJJ, вложение которого в группу SU2m было осуществлено выше. Экватором / 9 0 сферы SQ является окружность SQ. Поскольку вложение сферы 5о - SUim продолжается до вложения SUi - SU, то сфера SQ является вполне геодезическим подмногообразием в группе SUjm, и тем более - минимальным подмногообразием. Напомним, что подмногообразие называется вполне геодезическим, если любая геодезическая, касающаяся в этого подмногообразия в некоторой точке, целиком в нем лежит. То, что любое вполне геодезическое подмногообразие локально минимально, следует из явного вида тензора кривизны Римана, ограниченного на вполне геодезическое подмногообразие. В группе Ли тензор кривизны Римана на вполне геодезическом подмногообразии является частью тензора Римана в объемлющей группе, распадающегося в прямую сумму. [16]
Одна из ее полусфер, а именно, полусфера, задаваемая неравенством / J О, совпадает с двумерным диском DJJ, вложение которого в группу SU2m было осуществлено выше. Экватором / 9 0 сферы SQ является окружность SQ. Поскольку вложение сферы 5о - SUim продолжается до вложения SUi - SU, то сфера SQ является вполне геодезическим подмногообразием в группе SUjm, и тем более - минимальным подмногообразием. Напомним, что подмногообразие называется вполне геодезическим, если любая геодезическая, касающаяся в этого подмногообразия в некоторой точке, целиком в нем лежит. То, что любое вполне геодезическое подмногообразие локально минимально, следует из явного вида тензора кривизны Римана, ограниченного на вполне геодезическое подмногообразие. В группе Ли тензор кривизны Римана на вполне геодезическом подмногообразии является частью тензора Римана в объемлющей группе, распадающегося в прямую сумму. [17]
Рассмотрим сначала следующее предположение. Пусть везде локально можно обратить сразу все у-матрицы в постоянные матрицы Дирака. Так как ковариантная производная - матрицы является однородной комбинацией ее обычных частных производных, то в этой точке мы найдем Ум v 0; однако это будет верно в любой системе координат ввиду тензорного характера ковариантной производной 4-вектора. Поэтому и вторые ковариантные производные у-матриц будут повсюду равны нулю. Тогда на основании равенства (8.6.31) должен равняться нулю тензор кривизны Римана - Кристоффеля; иначе говоря, пространство-время должно быть плоским. [18]