Cтраница 2
Скалярная величина является тензором нулевой валентности и имеет только одну компоненту. Вектор является тензором первой валентности и имеет г компонент. [16]
Доказать, что числа xy xixj образуют тензор валентности два. [17]
Это выражение показывает, что матрица коэффициентов билинейной формы ср совпадает с матрицей Л ( аг) линейного преобразования А. Но матрица коэффициентов билинейной формы ср образует, как мы знаем, тензор валентности два. Следовательно, матрица линейного преобразования А также представляет собой тензор валентности два. [18]
Умножение тензоров, очевидно, есть операция коммутативная и ассоциативная. Умножение тензора на скаляр можно рассматривать как частный случай предыдущей операции, а именно как умножение тензора на тензор валентности нуль. [19]
Причина кроется в исключительном математическом удобстве этого аппарата, позволяющего в сжатом и наглядном виде формулировать сложные алгебраические и дифференциальные соотношения для тензоров любой валентности. [20]
Это выражение показывает, что матрица коэффициентов билинейной формы ср совпадает с матрицей Л ( аг) линейного преобразования А. Но матрица коэффициентов билинейной формы ср образует, как мы знаем, тензор валентности два. Следовательно, матрица линейного преобразования А также представляет собой тензор валентности два. [21]
Так как s - k - тензор, то выражение, стоящее в левой части этого равенства, представляет скалярную функцию. Поэтому эта скалярная функция является полилинейной формой степени пять. Следовательно, числа а-у г являющиеся коэффициентами этой полилинейной формы, образуют тензор валентности пять. Точно так же эта теорема доказывается и в общем случае. [22]
Все эти соотношения выполняются как в плоском и конформно-плоском пространстве-времени, так и в произвольном пространстве-времени. Отметим, что из равенства (6.7.33) следует конформная инвариантность уравнения для дивергенции ковек-тора веса - 2 или симметричного бесследового тензора валентности [ ] и веса - 2, отмечавшаяся в гл. [23]
Определения, а также формулировки и доказательства соответствующих предложений были бы почти дословным повторением сказанного и мы не приводим их. Заметим только, что для евклидовых тензоров свертывание возможно по любой паре индексов, и транспонировать их можно тоже по любому множеству индексов. Например, если, ограничиваясь ортонормированными базисами, мы отождествим квадратичную форму с присоединенным к ней преобразованием, то полученный новый объект - евклидов тензор валентности 2-будет иметь инвариантную свертку ( как линейное преобразование) и инвариантно будет удовлетворять равенству о. Инвариантность здесь, разумеется, имеет место только относительно замены ортонормированного базиса другим ортонормированньш. [24]