Cтраница 2
Мы можем обобщить определения тензоров первого ранга, включив сюда тензоры любого ранга, следующим образом. [16]
Очевидно, отображение /: Q - - 0 представляет тензор любого ранга. [17]
Операции поднятия и опускания индексов теперь легко можно обобщить на тензоры любого ранга. Достаточно это пояснить на примере тензоров 2-го ранга. [18]
Если рассматривать полилинейную форму, то аналогично придем к понятию тензора любого ранга. [19]
Из уравнений параллельного переноса для вектора нетрудно получить соответствующие уравнения для тензора любого ранга. [20]
Теорема Гаусса - Остроградского в форме (1.156) может быть обобщена на поля тензоров любого ранга. [21]
Это правило в соединении с правилами ковариантного дифференцирования обеспечивает автоматизм вычисления дифференциальных операций над тензорами любого ранга. [22]
Равенства (1.1.5), (1.1.13), (1.1.15), (1.1.16) позволяют установить выражения для физических составляющих абсолютной производной тензора любого ранга. [23]
Совокупость величин Lij, как нетрудно доказать, также образует аффинный ортогональный тензор второго ранга. Аналогично в тензоре любого ранга можно делать перестановку любых двух индексов, при этом снова получится тензор того же ранга. [24]
Таким образом, предложение доказано для случая тензора 2-го-ранга. Аналогично доказывается это предложение и в общем случае для тензора любого ранга. [25]
Кроме этого, важное значение в различных приложениях имеет теория симметрии, в которой симметрия полностью задается с помощью простых систем тензоров. С методами описания симметрии с помощью тензоров тесно связана теория структуры нелинейных тензорных функций для тензоров любого ранга, зависящих от нескольких тензорных аргументов различных рангов. [26]
Свертывая тензор второго ранга A j, получаем его первый инвариант Аи. Аналогичным образом строится кубический инвариант и следующие за ним. Очевидно, число независимых инвариантов тензора любого ранга ограничено. [27]
Ковариантные производные от компонент тензора любого ранга. Прямые ковариантные производные от тензора. Теперь мы приступим к выводу формул, выражающих ковариантные производные от компонент тензора любого ранга. [28]
Это соглашение мы сохраним и в случае риманова многообразия. При выполнении операций поднятия и опускания индексов, очевидно, индексы должны иметь возможность перемещаться свободно по вертикали вдоль коренной буквы сверху вниз и обратно. В случае компонент тензора 1-го ранга это условие автоматически выполняется, так как имеется всего лишь один нижний или верхний индекс. Но при наличии нескольких индексов этой ситуации может и не быть, если они расставлены наверху и внизу одни над другими. Поэтому важно, чтобы и при рассмотрении тензоров ранга выше первого придерживаться такого правила расстановки индексов, при котором сохраняется указанная выше ситуация, позволяющая беспрепятственно перемещать индексы по вертикали вдоль коренной буквы снизу вверх и обратно. Если обратим внимание на обозначения рассмотренных выше тензоров Ait A1, gijt gi, то заметим, что это условие соблюдено; над каждым нижним ( ковариантным) и под каждым верхним ( контравариантным) индексом оставлены свободные места. Для удобства принято эти свободные места заполнять точками в тех случаях, когда внизу и наверху имеется хотя бы по одному индексу, В остальных случаях, когда все индексы расположены либо внизу, либо наверху, точки можно не ставить. Такое правило расстановки индексов, которое мы сохраним ниже и для тензоров любого ранга, позволяет свободно перемещать индексы вверх и вниз по вертикалям вдоль коренной буквы, не вытесняя при этом другие индексы. Это соглашение существенно важно для формализации операций опускания и поднятия индексов. Вместе с тем следует отметить, что слепо соблюдать во всех случаях указанное правило расстановки индексов нет необходимости. [29]