Cтраница 2
Здесь S - некоторое многообразие, обычно это R, а С - другое многообразие, обычно Rr. Выбирая из названий, перечисленных в последнем параграфе предыдущей главы, наиболее подходящие для данного случая, будем сейчас называть R пространством состояний, a Rr - пространством управления. Число г - это размерность деформации; для стандартных универсальных форм размерность деформации совпадает с коразмерностью в 0 функции, подвергаемой деформации. Поскольку теорема классификации чисто локальна, мы на самом деле интересуемся только тем, что происходит вблизи начала; но для стандартных форм это отражается в их поведении во всем пространстве R xlR, как будет видно из дальнейших вычислений и картинок. Обозначения 5 и С сохраняют указанный смысл на протяжении всей этой главы. [16]
В формулировке теоремы классификации 5.1 в явном виде участвует сингулярное расслоение а. Иногда это удобно, в частности, в примерах ( подобных 5.2), где а несет полную или почти полную требуемую информацию. В других случаях, однако, использование такой теоремы затруднительно. В этом параграфе мы докажем вторую теорему классификации, в формулировке которой не участвует сингулярное расслоение, но которая имеет свои преимущества; в частности, для стягиваемого пространства X она приобретает очень простой вид. [17]
Для топологического многообразия X с краем В назовем G-пространство W над X специальным топологическим G-много-образием над X, если орбитный тип над Х - В постоянен, а орбитный тип над каждой компонентой из В постоянен и таков, что каждая неглавная орбита имеет окрестность, которая может быть наделена структурой гладкого специального G-много-образия. Тогда очевидно, что W - топологическое многообразие и что G действует на нем локально гладко. V действует на дисковом расслоении Мя над G / / C посредством эквивалентностей ортогонального G-расслоения. Обозначим через o / H ( G, X) множество классов топологической эквивалентности над X специальных топологических G-многообразий над X. Следующая теорема является прямым следствием теоремы классификации V.6.1 и представляет собой ее гладкий аналог. [18]
При т - 1 многообразие дР ( Е8) есть неодносвязная гомологическая трехмерная сфера. Для всех / п5г2 многообразие дРш ( Е8) есть экзотическая сфера, называемая сферой Милнора. Разумеется, существует и гладкий аналог теоремы классификации. [19]