Cтраница 2
Эта теорема показывает, что элементы et из теоремы 1.1 определяются единственным с точностью до подобия образом. В силу теоремы 2.3 неразложимые слагаемые являются циклическими подмодулями, и теорема Крулля - Шмидта показывает, что они единственны с точностью до порядка. [16]
Nk - представители классов изоморфизма конечно порожденных неразложимых В-моду-лей. Ввиду того что Л - модуль В конечно порожден, все модули ( Ni) A также конечно порождены. По теореме Крулля - Шмидта каждый модуль ( NI) A однозначно представляется в виде конечной прямой суммы неразложимых модулей. [17]
Ряд структурных теорем получен и без условий конечности. Крулль доказал, что любое ассоциативно-коммутативное кольцо без нильпотентных элементов разлагается в подпрямое произведение колец без делителей нуля. В дальнейшем было доказано, что в теореме Крулля требование коммутативности можно опустить, а затем был найден ряд критериев разложимости произвольной неассоциативной алгебры в под-прямое произведение алгебр без делителей нуля и алгебр с однозначным делением. [18]
Наш подход к изложению теоремы Крулля - Шмидта считается классическим в теории колец; впервые он был предложен Адзумаей. В последние годы проводились обширные исследования по обобщению теоремы Крулля - Шмидта, однако последнее слово здесь, вероятно, еще не сказано. Два последних параграфа этой главы разъясняют сделанные ранее замечания о тесной связи между теорией представлений групп и ассоциативными алгебрами. Материал этих параграфов фактически сводится к пояснению понятий. [19]
Ряд интересных результатов был получен в связи с перенесением в теорию структур теоремы Жордана - Гельдера и теоремы Крулля - Шмидта. [20]
Ласкера - Маколея, казавшуюся ранее сугубо вычислительной и громоздкой. Ею было дано также ак-сиоматич. Artin) изучает кольца с условием минимальности - артиновы кольца; X. Grell) вводит понятие локализации целостного кольца - операции, обобщенной затем К. Крулль доказывает теорему о главном идеале, положившую начало теории размерности нетеровых колец, а также теорему о пересечении степеней идеала в нетеровом кольце, являющуюся основой при изучении 21-адических топологий. Теория дивизо-риальных идеалов ( 1931) и теория нормирования обобщают более ранние исследования К. Наконец, следует упомянуть теорему Нетер о нормализации, выяснение роли понятия целой зависимости в рамках общей теории коммутативных колец, а также теоремы Крулля о подъеме простых идеалов для целых расширений. [21]