Cтраница 3
Таким образом, коэффициент трения в этом случае имеет порядок / V 1, т.е. мы вновь приходим к теореме Куна. [31]
Если ограничения даются в виде неравенств, что наиболее часто встречается в практических задачах, то метод Лагранжа применяется с помощью теоремы Куна - Такера. [32]
Расширение Лагранжа линеаризованной задачи представляет собой линеаризацию для расширения исходной задачи НП, откуда следует, что необходимые условия оптимальности задачи НП и ее расширения Лагранжа совпадают, о чем и говорится в теореме Куна - Танкера. [33]
В этой главе мы остановимся на свойствах выпуклых множеств в гильбертовом пространстве п на некоторых задачах, имеющих значение для применения выпуклого программирования вариационных задачах для выпуклых функции на выпуклых множествах Основой для них являются теорема Куна - Так-кера и теорема о мннимаксе фон Неймана, которые в свою очередь опираются на теоремы об отделимости выпуклых множеств. К этому примыкает лемма Фаркаша для конечномерного случая, которая находит применение в задачах оптимизации потоков на сетях. [34]
О в задачах нелинейного программирования; показана возможность такого обобщения и изучены особенности функции Лагранжа Ф ( Х, Л) в точке относительного экстремума / ( X); установлена связь между условиями существования точек Х и Х, Л, выраженная теоремой Куна - Таккера. Ниже дан пример непосредственного использования полученных результатов. [35]
Из-за ограничений в виде неравенств (3.99) наименьшее значение функции цели может быть не в стационарной точке, определяемой из решения системы (3.110), а на границе области существования. Теорема Куна - Таккера [67] обобщает правило множителей Лагранжа на случай ограничений вида неравенств. [36]
Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств. На основе теоремы Куна - Такера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа. [37]
В этой формулировке рассматриваемая теорема совпадает с правилом множителей Лагранжа. Оказывается, при определенных условиях она приводит и к теореме Куна - Таккера. [38]
Важно отметить, что множество, на котором ищется седловая точка функции Лагранжа, имеет простой вид: ограничения (1.6) в его описании не участвуют и выполняются для х - компоненты седловой точки автоматически. Заметим также, что в случае, когда ограничения (1.6) линейные, теорема Куна - Таккера верна без условия регулярности. [39]
Если функция цели сопровождается уравнениями ( ограничениями) в форме равенств, то поиск оптимального управления осуществляется с помощью метода Лагранжа. Если ограничения на параметры системы представлены в виде неравенств, то при построении алгоритма руководствуются теоремой Куна - Таккера. При управлении механизмом ПТМ ограничение, налагаемое на тяговое усилие, имеет простой вид и г ао, при этом контроль за соблюдением данного условия осуществляется непосредственным сопоставлением на каждом шаге текущей величины и ( п) и допустимого управления ао. Однако часто не удается получить в замкнутой форме выражение критерия оптимальности и его градиента. [40]
Предиоло / кепие о том, что Vg - ( x), is /, линейно1 независимы, где; / - множество индексов активных ограничении, называется условием регулярности в виде линейной независимости. Полагая АО 1 ( что эквивалентно делению ( J) на АО п замене А / Ао на А -), придем к теореме Куна - Таккера, являющейся частным случаем теоремы Фритца Джона. [41]
Эйлера - Лагранжа и, соответственно, Ч 0в (3.28) исключаются. Сформулированное условие легко доказать и непосредственно, примерно так же, как доказывалось выше условие Слейтера. Последнее устанавливается путем рассуждений, совершенно аналогичных использовованным выше при доказательстве теоремы Куна - Таккера. [42]
Тем не менее авторы предвидели, что в выпуклом случае градиентные условия можно заменить чем-то не связанным с дифференцируемостью, что и было вскоре сделано. По-видимому, Слейтер [1] первым заменил условия, использованные в работе Куна и Таккера [1], предположением о существовании допустимого вектора, удовлетворяющего всем ограничениям типа неравенства как строгим неравенствам. Теорема 28.2 ( и, следовательно, теорема Куна - Таккера) была впервые доказана Фаном, Гликсбергом и Гоффманом [1] в случае ограничений только типа неравенства, а затем Удзавой ( см. Эрроу, Гурвиц, Удзава [ 1, стр. [43]
Рассмотрим ситуацию, когда число ограничений бесконечно. Одни из подходов состоит о следующем. N - Отрицательный конус в / 2, состоящий нз последовательностей, все члены которых неположительны. F ( x) ( по предположению) выпукло. Однако для этой новой задачи рассужчепия, использованные при доказательстве теоремы Куна - Таккера уже не проходит. [44]
Теория локальных экстремумов дает сегодня, наверное, наиболее общий подход к анализу экстремальных задач. Поэтому изложение методов оптимизации без обсуждения идей этой теории не может быть полноценным. Тем не менее, изложение даже самого простого варианта этой теории дает возможность продемонстрировать единство изучаемого предмета. Так, например, важная сама по себе ( и доказанная ранее независимо) теорема Куна - Таккера оказывается простым следствием теоремы Милютина - Дубовицкого о сопряженных конусах. [45]