Cтраница 3
Какого сорта теоремы доказывают в теории моделей. Пожалуй, самой ранней в теории моделей была теорема Левенгейма ( Левен-гейм [1915]): если некоторое высказывание имеет бесконечную модель, то оно имеет и счетную модель. Другой классический результат - теорема компактности, принадлежащая Геделю [1930] и Мальцеву [1936]: если каждое конечное подмножество множества Е имеет модель, то и все множество S имеет модель. Будем говорить, что множество высказываний Е категорично в мощности ос, если для него существует одна и с точностью до изоморфизма только одна модель мощности а. Теорема Морли гласит, что если Е категорично в какой-нибудь одной несчетной мощности, то оно категорично в любой несчетной мощности. [31]
Будем говорить, что гипотеза Чэна справедлива для пар ( а, Р), ( у, б), если эти пары обладают приведенным выше свойством. Гипотеза Чэна интересна только тогда, когда арб и а 7б; остальные случаи тривиальны. Когда а 7 Р б, она оказывается очевидным следствием теоремы Левенгейма - Скулема - Тарского. Двойственный случай а Т Р б - трудная проблема, которая ведет к результатам о непротиворечивости в теории множеств. [32]
Положим X X U F, где F - новый одноместный функциональный символ. Пусть Т - теория в языке X, состоящая из всех предложений теории Т и еще одного предложения, гласящего, что F является одно-однозначным отображением универсума А на множество F. Теория Т непротиворечива и имеет бесконечную модель, а именно обогащение И ( и, G), где G - произвольная одно-однозначная функция, отображающая А на F. По теореме Левенгейма - Скулема - Тарского теория 7 имеет модель во всякой бесконечной мощности у. [33]
Хотя это и служит объяснением, рассмотренный парадокс все же ставит нас перед следующей альтернативой. Или мы должны признать, что понятия произвольного подмножества данного множества и несчетного множества являются априорными понятиями, которые ускользают от всякого описания посредством конечной или счетно-бесконечной системы элементарных аксиом. Или же ( если мы придерживаемся понятий, которые можно описать посредством элементарных аксиом, что можно считать весьма желательным ввиду теоретико-множественных парадоксов § 11) мы можем принять теоретико-множественные понятия, в частности, понятие несчетности в качестве относительных, так что множество, счетное в данной аксиоматизации, может оказаться несчетным в другой, и не существует никакой абсолютной несчетности. Так как теорема Левенгейма приводит к парадоксу Сколема, то ее можно рассматривать как первую из современных теорем о неполноте. [34]