Cтраница 1
Теорема Лузина означает, что всякую измеримую функцию можно считать непрерывной, если позволить себе пренебрегать множествами сколь угодно малой меры. [1]
Из теоремы Лузина следует, что каждую измеримую функцию можно приблизить непрерывными функциями. [2]
Пользуясь теоремой Лузина, докажите, что сумма, разность и произведение измеримых на [ а Ь ] функций являются измеримыми на [ а, Ь ] функциями. [3]
Пользуясь теоремой Лузина, докажите, что сумма, разность и произведение измеримых на [ а, Ь ] функций являются измеримыми на [ а, Ь ] функциями. [4]
Пользуясь теоремой Лузина, докажите, что сумма, разность и произведение измеримых на [ а, Ь ] функций являются измеримыми на [ а, Ь ] функциями. [5]
Мы исходим из теоремы Лузина 4.8.5. Будем говорить, что функция / измерима, если для каждого интегрируемого множества А с Т ( или, чго то же, для каждого компактного множества А а. К с: А, что л ( А К) & и сужение f I / C непрерывно. [6]
Отсюда с помощью теоремы Лузина уже легко получить, что X ( i) () x ( i) ( t) почти везде. [7]
Отметив далее, что теорема Лузина доказывается с помощью теоремы Егорова, Виола утверждает [ 1, с. Цермело и что оно ( доказательство. [8]
Представляется любопытным, что вариант теоремы Лузина, упомянутый в замечании 19.1, допускает несложное обращение. [9]
В самом деле, в силу теоремы Лузина мы можем предполагать, что А - замкнутое множество, a ft ( x) непрерывны на А. [10]
Именно, справедлива теорема, аналогичная теореме Лузина в теории тригонометрических рядов; если а ( б) 0 почти всюду в [ 0, 2л ], то справедливы теоремы, аналогичные теоремам Абеля, Коши - Адамара. [11]
Заметши, что, в силу теоремы 3.4.1 и теоремы Лузина, для всякого измеримого относительно радоновской гауссовской меры линейного функционала / и всякого положительного Е найдется метризуемый компакт меры больше 1 - с, на котором функционал / непрерывен. Простое наблюдение приводит к следующему результату. [12]
Но тогда он должен иметь 2 Qn С в силу теоремы Лузина - Данжуа, а это противоречит гипотезе. [13]
В случае когда F: Г С - Е не предполагается непрерывным, используем теорему Лузина, которая позволяет найти компакт К пространства F G с большой мерой, на котором F непрерывна. К, что позволяет приспособить доказательство к этому случаю. [14]
Теперь ясно, что если для некоторой функции / ( х), заданной и почти всюду конечной на измеримом множестве Е, справедливо заключение теоремы Лузина, то для нее справедливо и заключение теоремы Фреше, а следовательно, она измерима. Таким образом, теорема VI.6.2 допускает обращение, которое можно сформулировать, например, так: если на измеримом множестве Е задана почти всюду конечная функция f ( х) и для любого е О существует такое измеримое подмножество Е сЕ, что л ( Е Е) s и что на Е функция f ( х) непрерывна, то f ( х) измерима на Е Тем самым свойство измеримых функций, установленное в теореме VI. Оно означает, что измеримые функции по своей структуре тесно связаны с непрерывными. [15]