Cтраница 2
Эта теорема Лузина ( к р н-т е р н н Л у з и н а) обобщается на случай функций многих переменных ( см. [3], [4]) н является одной из основных теорем метрич. [16]
Иначе говоря, измеримая функция может быть сделана непрерывной на [ а, Ь ] путем ее изменения на множестве сколь угодно малой меры. Как показывает теорема Лузина, для функций числового аргумента С-свойство можно положить в основу самого определения измеримости. Доказательство теоремы Лузина можно получить, воспользовавшись теоремой Егорова ( проведите это доказательство. [17]
Лузин тоже не доказывает, отсылая читателя к той же книге Валле-Пуссена [ 1, с. Вместо указанной выше промежуточной теоремы Лузин пользуется теперь аналогичной леммой ( с. При получении llf ( x) в самой лемме он не прибегает к произвольному выбору точек из конечного числа множеств, но зато выбирает одну из канторовских ступенчатых функций; когда же он применяет эту лемму к последовательности функций ( Fa ( x), то ситуация остается такой же, как и ранее. Для рассматриваемого нами вопроса о связи понятия интеграла с аксиомой выбора теорема Лузина о необходимых и достаточных условиях существования примитивной у / ( ж), состоящих в том, чтобы i ( x) была измеримой и почти везде конечной, очень важна. [18]
Возникает естественный вопрос: является ли абсолютная непрерывность наилучшим условием существования одновременных поднятий такого типа или можно найти более слабое условие. Заметим, что, согласно андерсеновской теореме Лузина 3.4.9, функция f служит поднятием функции / относительно всех стандартных мер ji и следовательно, абсолютная непрерывность требуется не всегда. Однако, поскольку внутренние меры, которые мы строим в нестандартной теории вероятностей, редко бывают стандартными, от теоремы Лузина часто бывает мало пользы; то, что нужно, - это обобщение, применимое к более широкому классу внутренних мер. [19]
В этих условиях дальнейшее доказательство теоремы Лузина проходит очень легко. [20]
Интересен вопрос о том, как значения оператора (23.2) на одних классах U входов u ( t) определяют его значения на входах из других классов. Например, если U - множество всех непрерывных входов, то в силу теоремы Лузина определен ( с точностью до значений на множестве нулевой меры) выход при каждом измеримом входе. [21]
Иначе говоря, измеримая функция может быть сделана непрерывной на [ а, Ь ] путем ее изменения на множестве сколь угодно малой меры. Как показывает теорема Лузина, для функций числового аргумента С-свойство можно положить в основу самого определения измеримости. Доказательство теоремы Лузина можно получить, воспользовавшись теоремой Егорова ( проведите это доказательство. [22]
Возникает естественный вопрос: является ли абсолютная непрерывность наилучшим условием существования одновременных поднятий такого типа или можно найти более слабое условие. Заметим, что, согласно андерсеновской теореме Лузина 3.4.9, функция f служит поднятием функции / относительно всех стандартных мер ji и следовательно, абсолютная непрерывность требуется не всегда. Однако, поскольку внутренние меры, которые мы строим в нестандартной теории вероятностей, редко бывают стандартными, от теоремы Лузина часто бывает мало пользы; то, что нужно, - это обобщение, применимое к более широкому классу внутренних мер. [23]
Лузин тоже не доказывает, отсылая читателя к той же книге Валле-Пуссена [ 1, с. Вместо указанной выше промежуточной теоремы Лузин пользуется теперь аналогичной леммой ( с. При получении llf ( x) в самой лемме он не прибегает к произвольному выбору точек из конечного числа множеств, но зато выбирает одну из канторовских ступенчатых функций; когда же он применяет эту лемму к последовательности функций ( Fa ( x), то ситуация остается такой же, как и ранее. Для рассматриваемого нами вопроса о связи понятия интеграла с аксиомой выбора теорема Лузина о необходимых и достаточных условиях существования примитивной у / ( ж), состоящих в том, чтобы i ( x) была измеримой и почти везде конечной, очень важна. [24]