Cтраница 1
Теорема Бернсайда) Если g е G и gc ра, где р - простое число и а е N, то группа G непроста. [1]
Теорема Бернсайда устанавливает, что если не существует системы однородных линейных отношений этого специального вида, то вообще не существует линейной зависимости. Подлинная причина этого замечательного факта кроется, конечно, в предположении о замкнутости 2 относительно умножения. [2]
Поэтому теорема Бернсайда является также следствием этого результата. [3]
Но теперь по теореме Бернсайда ( [ 73, теорема 7.4.3 ] или [ 52, теорема 14.3.1 ]) С имеет нормальное 2-допол-нение. [4]
Следствие 1 известно как теорема Бернсайда. Оно используется в следующей ситуации. [5]
В работе Е. Р. Колчина [1] теорема 4.2 доказывается с помощью теоремы Бернсайда, также играющей важную роль в теории конечномерных представлений. [6]
Если конечная группа имеет класс сопряженных элементов, порядок которого есть иеедииичная степень простого числа, то по теореме Бернсайда 2А32 она ие проста. [7]
Система Р абсолютно неприводима и вместе с двумя матрицами содержит их произведение. По теореме Бернсайда, среди матриц Р найдется г2 линейно независимых в поле представления К [ 8, стр. [8]
По теореме Бернсайда отсюда следует, что i О. [9]
Но если НН ( а, Ь) - неабелева группа, то Я2, ab ] - собственная подгруппа группы Н, откуда по индукции ( abfSn - ( а. Действительно, из теоремы Бернсайда о базисе следует, что если фактор-группа Я / Я2 циклическая, то группа Я также циклическая. [10]
Из условия m2 ( G) l следует ( согласно предложению 1.35), что G имеет циклическую или обобщенно кватернионную силовскую 2-подгруппу S. Но теперь, согласно теореме Бернсайда о перемещении ( теорема 1.20 ( п)), группа G имеет нормальное 2-дополнение. [11]
В группе порядка рв индекс любой максимальной подгруппы равен р, причем эта подгруппа инвариантна ( следствие 4.1.2), а, следовательно, группа порядка ра разрешима. В силу принятой без доказательства теоремы Бернсайда группа порядка paq разрешима. [12]
Бернсайда следует, что компоненты матриц U ( s) линейно независимы. Здесь мы не пойдем дальше к расширениям теоремы Бернсайда, которыми мы обязаны Фробениусу и И. [13]
Глауберман определяет для любой / 7-группы Р две цепочки характеристических в Р подгрупп, одна из которых монотонно возрастает, а другая - монотонно убывает, причем последний член любой из них можно взять в качестве К ( Р) - Мы не будем пытаться описать их здесь в явном виде, а также не будем обсуждать многие другие важные результаты Глаубермана, полученные в этом направлении. Отметим лишь, что одно следствие последней теоремы вместе с теоремой Бернсайда ( теорема 4.130) о разрешимости любой группы порядка paqb ( применяемой здесь в случае р2, q3) доказывают следующее давно высказанное предположение. [14]
Рассмотрим сначала случай коммутативных групп. Тогда преобразования 2агр ( §), g ( G, агбС образуют неприводимую алгебру в EnucL, которая согласно теореме Бернсайда ( теорема XVII § 10) должна совпадать с Endc. [15]