Cтраница 2
Это последнее число равно минимальному числу образующих абелевой ( не операторной) группы 9Т / ( Щ, ) У11 - доказательство этого факта дословно повторяет доказательство теоремы Бернсайда. [16]
Следовательно, при естественном гомоморфизме P - PjD образующие элементы группы Р отображаются в образующие элементы фактор-группы P / D. Обратное утверждение также выполняется. Оно составляет содержание теоремы Бернсайда о базисе. [17]
III, § 10), которую мы без колебаний переносим из пространств с конечным числом измерений в бесконечномерные пространства, постулат неприводимости позволяет нам утверждать, что между компонентами Q не может существовать никакого линейного однородного соотношения tr ( AQ) Q, которое удовлетворялось бы для всех Q. Поскольку в множестве форм Q возможно не только умножение - как предполагается в теореме Бернсайда, - но и сложение, мы приходим к заключению, что в 2 содержатся все эрмитовы матрицы, имеющиеся в пространстве состояний. Вероятно, наше требование следует выразить непосредственно в виде: любая эрмитова форма представляет физическую величину системы. [18]
С) содержит п4 матриц, линейно независимых над F. Согласно А7 эти матрицы линейно независимы над К. Так как Нк ( С) Н ( О), то отсюда по теореме Бернсайда следует неприводимость лк. [19]
Если Г - циклическая группа, то вновь по теореме Бернсайда о перемещении группа N содержит нормальное 2-допол-нение. В противном случае TS и N имеет ква-тернионные силовские 2-подгруппы. [20]
Предположим, что V обладает собственным ненулевым подпространством W, инвариантным относительно группы G. Тогда образ группы G в GL ( W) есть унипотентная группа, и вектор из W, неподвижный относительно этой группы, является одновременно вектором пространства V, неподвижным относительно группы G. Это позволяет нам обратиться к стандартной ( хотя и нетривиальной) теореме Бернсайда: если R - некоторая подалгебра алгебры End V и если R действует на пространстве V неприводимо, то R End V. [21]
Покажем, что каждый эндоморфизм а, принадлежащий Ф, в действительности является автоэпиморфизмом. Из определений видно, что Ga вместе с коммутантом G1 порождают всю группу G. Согласно известной теореме Бернсайда, если подмножество М нильпотентной группы G порождает вместе с G1 всю группу G, то и одно М порождает всю группу G. Из этой же теоремы Бернсайда следует, что каждый эндоморфизм нильпотентной группы, - индуцирующий автоморфизм в фактор-группе по коммутанту является автоэпиморфизмом. [22]
Заметим, что скалярные матрицы образуют нормальную подгруппу в группе невырожденных матриц. G, для которых матрицы Т ( g) скалярные, образуют нормальную подгруппу N ( Т) в G. Эти соображения позволяют применять теорему 6.1 для отыскания нормальных подгрупп. Мы докажем таким способом следующие две теоремы Бернсайда. [23]
Нетрудно понять, что свойство представления быть приводимым или неприводимым зависит от основного поля. Так, если представление неприводимо над некоторым полем Р, то оно может уже оказаться приводимым при переходе к более широкому полю. В связи с этим вводится следующее определение: представление группы Г называется абсолютно неприводимым, если оно неприводимо и остается таковым при всяком расширении основного поля. Если основное поле алгебраически замкнуто, то неприводимость и абсолютная неприводимость совпадают. Это последнее замечание легко вывести, например, из теоремы Бернсайда. [24]