Cтраница 2
В этом параграфе мы покажем, как можно усилить многие теоремы отделимости, условия замкнутости и другие результаты, доказанные ранее для произвольных множеств, если в добавление к выпуклости предполагать полиздральность. [16]
Различные признаки существования для заданных множеств гиперплоскостей перечисленных типов принято называть теоремами отделимости. [17]
Действительно, если бы она не имела решений, то, используя теорему отделимости ( теорема 3 гл. [18]
Леммы предыдущего пункта позволяют доказать целый ряд очень полезных утверждений, называемых теоремами отделимости. [19]
Четвертая часть, посвященная неравенствам, возникла благодаря нашему убеждению, что эконометристы должны легко оперировать неравенствами, такими как неравенство Коши-Буняковского ( Шварца), неравенство Мин-ковского и их обобщения, а также владеть мощными результатами, например теоремой отделимости Пуанкаре. В какой-то мере глава является и историей нашего разочарования. [20]
Доказательство того, что в этом включении имеет место знак равенства, требует некоторой техники. Важную роль в доказательстве играет теорема отделимости ( теорема 12), которую мы докажем ниже. Для ее доказательства нам понадобятся некоторые свойства семейства В, состоящего из операторов, сопряженных к элементам из В. [21]
Задачи о минимуме / - g и максимуме g - f ( где / - ( выпуклая) сопряженная к /, a g - ( вогнутая) сопряженная к g) связаны соотношениями двойственности. Как мы увидим, эта двойственность следует из общих построений предыдущего параграфа, однако ее можно изучать и независимо, используя простейшие рассуждения, опирающиеся на теоремы отделимости. [22]
Она применяется в пространстве, дуальном к банахову пространству. В общем случае эта теорема доказывается тем же методом, только лемма о недостаточном радиусе используется при доказательстве в более сильной формулировке, приведенной в книге Банаха. Эта пара теорем отделимости вместе с теоремами о неподвижной точке составляет математический аппарат, без которого не сможет обойтись ни один аналитик. [23]
Глава естественным образом распадается на несколько частей. В § § 1 - 4 обсуждаются матричные аналоги неравенства Коши - Шварца и неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Параграфы 5 - 14 посвящены неравенствам, связанным с собственными значениями, и содержат, в частности, теорему Фишера о минимаксе и теорему отделимости Пуанкаре. В § 15 доказывается неравенство Адамара. Неравенство Карамата используется в § § 16 - 23 для доказательства теоремы о представлении ( tr Ар) 1 р, р 1, Л неотрицательно определенная, которое, в свою очередь, применяется для вывода матричных аналогов неравенств Гельдера и Минковского. [24]
Совсем другой оказалась картина для проективных множеств. СЛ-множеств, называемых А-множествами, остается открытым вопрос об их измеримости и наличии у них свойства Бэра. Тогда в теоремах отделимости роль Л - множеств играют СЛ2 - множества, а роль СЛ-множеств-Л - мно-жества. Именно: два непересекающихся САг-множества отделимы Вг-мно-жествами. [25]
Здесь вопрос ставится совершенно иначе-довести изучение общих свойств В-множеств до возможно большей ясности и полноты. Это направление часто соприкасается и даже сливается с топологией, но в то же время нередко требует методов теории Д - множеств. Дополнения к элементам класса а называются множествами, достижимыми снизу класса а. Оказалось, что для элементов класса а справедливы теоремы отделимости, аналогичные теоремам отделимости для А-множеств: два элемента класса а. Если у двух элементов класса л удалить их общую часть, оставшиеся части отделимы множествами, достижимыми снизу класса а. [26]
Применение этой традиционной идеи к доказательству теоремы (39.5), с ее весьма кривобокими предположениями, характерными для современной теории управления, уже является превышением возможностей классических понятий. Для этого нам предварительно придется доказать стандартную лемму о возмущении, которая равносильна вычислению первой вариации для пары q концов траектории С. Линейная аппроксимация, которую она дает, будет использована вместе с теоремой отделимости для выпуклых множеств евклидова пространства. Это следует сравнить с рассуждениями, приведенными в приложении II к тому I, где мы имели дело с линеаризацией и отделимостью выпуклых множеств хотя и на языке дуальных функциональных пространств, но применительно к аналогичным объектам. [27]
Здесь вопрос ставится совершенно иначе-довести изучение общих свойств В-множеств до возможно большей ясности и полноты. Это направление часто соприкасается и даже сливается с топологией, но в то же время нередко требует методов теории Д - множеств. Дополнения к элементам класса а называются множествами, достижимыми снизу класса а. Оказалось, что для элементов класса а справедливы теоремы отделимости, аналогичные теоремам отделимости для А-множеств: два элемента класса а. Если у двух элементов класса л удалить их общую часть, оставшиеся части отделимы множествами, достижимыми снизу класса а. [28]