Cтраница 2
Теорема Паскаля была доказана знаменитым французским математиком Блезом Паскалем ( 1623 - 1662) в возрасте шестнадцати лет. Эта теорема, позволяющая, как указывалось выше, строить коническое сечение по пяти его точкам с помощью одной только линейки, является основной теоремой проективной теории линий второго порядка. Теорема Брианшона была открыта в 1806 г., более чем через 150 лет после теоремы Паскаля, и притом совершенно независимым путем. Лишь еще позже был окончательно выяснен принцип двойственности, и оказалось, что теорема Брианшона есть лишь, так сказать, дубликат теоремы Паскаля. [16]
Обозначим буквами А, В, С и D точки их прикосновения. Рассмотрим простой четырехсторонник abed и применим к нему теорему Брианшона. [17]
Существует также ряд чисто планиметрических доказательств теоремы Брианшона. Так, например, эту теорему нетрудно вывести из теоремы Чева ( задача 146; ср. Еще несколько доказательств этой теоремы имеется в книге: Яглом И.М. Геометрические преобразования, II, в которой также собран ряд задач, решаемых с использованием теоремы Брианшона. [18]
Фактически любая теорема об инцидентности точек и прямых порождает двойственную ей теорему о прямых и точках, а именно, о полярах и полюсах точек и прямых первоначальной теоремы. Например, мы можем считать, что стороны шестиугольника, описанного вокруг окружности со, являются касательными в вершинах шестиугольника, вписанного в ту же самую окружность. Более того, теорема Паскаля ( или Брианшона), примененная к произвольной окружности, порождает теорему Брианшона ( или Паскаля) для конического сечения, в которое переходит при полярном преобразовании эта окружность. [19]