Cтраница 1
Теорема Вигнера - Эккарта выражает матричные элементы тензорных операторов, которые непосредственно связаны с экспериментально наблюдаемыми значениями, в терминах коэффициентов Клебша - Гордана и приведенных матричных элементов. Коэффициенты Клебша - Гордана являются известными из математики величинами и вычисляются, исходя из свойств группы. Приведенные матричные элементы - это физические параметры, значения которых определяют по экспериментальным данным. Если наблюдаемая имеет еще какое-то дополнительное свойство, например (VI.3.12) для вектора Ленца в гл. VI, то для определения приведенных матричных элементов может потребоваться еще меньшее число параметров. Таким образом, значение теоремы Вигнера - Эккарта состоит в том, что она позволяет выразить большое число экспериментально наблюдаемых матричных элементов через намного меньшее число более фундаментальных величин - приведенных матричных элементов. Часто единственная информация о наблюдаемой состоит в том, что она представляет собой тензорный оператор, а теорема Вигнера - Эккарта тогда является единственным имеющимся в распоряжении средством. [1]
Необходимо подчеркнуть, что теорема Вигнера - Эккарта является одновременно и теоремой, и определением. Она является теоремой в том смысле, что соотношение (3.6) утверждает, что матричный элемент / у может быть факторизован таким образом, что зависимость от т, т и к будет полностью содержаться в коэффициенте Клебша - Гордана, и является определением в том смысле, что (3.6) определяет приведенные матричные элементы. [2]
В некоторых учебниках в теореме Вигнера - Эккарта явным образом появляется постоянный или зависящий о i j множитель. В наших обозначениях эти множители входят в определение приведенного матричного элемента. [3]
Это утверждение, известное как теорема Вигнера, позволяет существенно понизить порядок решаемых для молекулы или кристалла уравнений при переходе к функциям, являющимся базисными для неприводимых представлений группы симметрии системы. Процедура построения таких функций для молекулярных систем будет нами подробно рассмотрена в третьей главе. [4]
Это утверждение можно рассматривать как теорему Вигнера - Эккарта для группы, генерированной действием Q на оператор V, являющийся скалярным оператором на этой группе. [5]
Чтобы оценить его значение, рассмотрим теорему Вигнера - Эккарта в квазиспиновом пространстве. В частности, оператор магнитного момента есть квазиспиновый скаляр; тот факт, что магнитный момент не зависит от числа пар ( тождественных) частиц, подтверждается данными оболочечной модели. Это обосновывает вычисления на основе модели Шмидта; см. стр. [6]
Мы делаем это путем сравнения (6.84) с теоремой Вигнера - Эккарта для векторных операторов. [7]
Не слишком трудно показать, несколько видоизменив доказательство теоремы Вигнера - Эккарта, что матричные элементы вектора внутри мультиплета Гв могут быть точно определены с помощью двух констант. Из табл. 8 видно также, что только симметричное прямое произведение [ Гв X ГвЬ содержит Г4 дважды, поэтому в соответствии с правилами, приведенными в гл. Гв имеют отличные от нуля матричные элементы лишь векторы, нечетные относительно обращения времени. [8]
Вычисление матричных элементов возмущения Т (7.10.271) в связанном базисе (7.10.207) представляет собой стандартное приложение теоремы Вигнера - Эккарта ( разд. [9]
Подстановка соотношения (6.84) в разложение оператора А, заданное формулой (6.87), приводит к теореме Вигнера - Эккарта для векторных операторов. Таким образом, алгебраический метод дает иной метод доказательства теоремы Вигнера - Эккарта в этом частном случае. [10]
Существует второй аспект коэффициентов Вигнера, который так же важен, как и свойство, выраженное теоремой Вигнера - Эккарта. Это аспект связывания: коэффициенты Вигнера С - М / осуществляют связывание в пространстве тензорных операторов. [11]
Вычисление матричных элементов для D ( vib, rot) есть теперь не что иное, как стандартное применение теоремы Вигнера - Эккарта ( соотношение (3.260) гл. [12]
Мы привели здесь детали расчета постоянных суперсверхтонкой структуры потому, что это первый пример случая, когда нельзя было использовать обобщенную для кубической группы теорему Вигнера - Эккарта, и мы были вынуждены явно выписать слэтеровские детерминанты, так как сверхтонкое взаимодействие с ядром одного определенного л ига н да не является инвариантом кубической группы. [13]
Программа Рака имеет три аспекта: а) введение общих методов построения самого пространства У, б) классификация взаимодействий как инвариантных тензоров ( привлекающая, таким образом, теорему Вигнера - Эккарта) и в) использование более общих групп как средства для выяснения возникновения параметров ( 7) в векторах состояния. [14]
При фиксированных значениях а, /, k, а, / имеется ( 2 / 1) ( 2k - f - 1) ( 2 / 7 1) таких матричных элементов. Теорема Вигнера - Эккарта утверждает, что все эти матричные элементы определяются однозначно с точностью до общего множителя. Доказывается теорема следующим образом. [15]