Теорема - вигнер
Cтраница 2
V, то можно легко определить приведенный матричный элемент и по известным коэффициентам Клебша - Гордана - все остальные матричные элементы между состояниями рассматриваемых термов. Таким образом, теорема Вигнера - Эккарта существенно сокращает расчеты матричных элементов. Кроме этого, устанавливая численное соотношение между последними, она лимитирует число независимых параметров, которые можно ввести в задачу. [16]
Соотношение (3.6) - это реализация теоремы Вигнера - Эккарта для группы вращений, для которой алгеброй наблюдаемых является алгебра углового момента Jr Многие физические системы обладают ( обертывающей) групповой алгеброй, являющейся подалгеброй алгебры наблюдаемых, и имеют наблюдаемые, являющиеся тензорными операторами по отношению к этой группе. [17]
Можно показать, что результаты действия операторов симметрии группы на волновую функцию молекулы порождают неприводимые представления точечной группы. Теорема, обратная этой теореме, - теорема Вигнера, согласно которой все собственные функции молекулярной системы принадлежат к одному из типов симметрии группы. [18]
Подстановка соотношения (6.84) в разложение оператора А, заданное формулой (6.87), приводит к теореме Вигнера - Эккарта для векторных операторов. Таким образом, алгебраический метод дает иной метод доказательства теоремы Вигнера - Эккарта в этом частном случае. [19]
Кроме того, в теории возмущений первого порядка требуются только матричные элементы, диагональные по у. Поскольку S - векторный оператор по отношению к J, то из теоремы Вигнера - Эккарта следует ( см. равенство (3.246) гл. [20]
Выводы, о принципиально возможных типах минимумов адиабатического потенциала были основаны на выборе колебаний определенного типа симметрии и группы симметрии исходной конфигурации - молекулы. Использование теоремы Вигнера - Экарта и таблиц коэффициентов Клебша - Жордана делает ненужным обычно применяемый анализ точек нулевого наклона адиабатического потенциала оснований на использовании характеров точечных групп. [21]
Прежде чем обратиться к конкретным примерам, полезно дать краткий обзор принципов, лежащих в основе приложений. Мы уже видели, что симметрия в квантовой физике есть преобразование над векторами состояния ( активная точка зрения - векторы в гильбертовом пространстве преобразуются, а операторы остаются фиксированными) и над наблюдаемыми ( пассивная точка зрения - векторы в гильбертовом пространстве остаются фиксированными, а операторы подвергаются преобразованию) 1, такое, что все вероятности сохраняются ( разд. Воспользовавшись теоремой Вигнера, мы находим, что это приводит либо к унитарной, либо к антиунитарной реализации симметрии при помощи операторов. [22]
Различные по своей физической природе системы могут обладать одинаковой симметрией. Матричные элементы, входящие в квантовомеханические расчеты таких систем, различаются для каждой из них только фактором Ла, коэффициенты Клебша - Гордана для них одинаковы. Следовательно, теорема Вигнера - Эккарта позволяет отделить свойства симметрии исследуемой системы от ее физической природы. [23]
И и представление D1 должно содержаться в [ DJXDJ ] S; если / - целое число, то е0 1, вуее - 1 и Ь1 должно содержаться в [ DJ X DJ ] A. Менее тривиальным примером является фиктивный угловой момент, введенный в гл. Здесь опять теорема Вигнера - Эккарта предсказывает, что внутри кубического триплета Г4 или Г5 матричные элементы компоненты вектора V определяются с точностью до постоянного множителя, поскольку ( табл. 2) векторное представление Г4 содержится в прямом произведении П X П или Г5 X Гб лишь однажды. [24]
До сих пор мы не касались вопроса о пространственном окружении нашего иона. При определенных допущениях относительно симметрии этого окружения мы найдем ситуации, в которых тензоры gqa и ада могут быть диагонализованы одновременно. Тогда, согласно теореме Вигнера - Эк-карта, все матричные элементы компонент любого вектора, в частности векторов ш и Не, между состояниями дублета будут пропорциональны соответствующим матричным элементам вектора J. Тензоры gqa и ада оказываются пропорциональными друг другу и могут быть диагонализованы одновременно. [25]
Беря матричные элементы приведенных операторных соотношений по отношению к базисным состояниям нашего основного гильбертова пространства получаем алгебраические соотношения между коэффициентами Вигнера и Рака, которые уже рассмотрены в разд. Эти соотношения справедливы без ссылки на лежащую в основе физику. В самом деле, сущность теоремы Вигнера - Эккарта заключается в факторизации физического тензорного оператора на две части: часть, содержащую физику и сопоставляемую с оператором ( редуцированными матричными элементами), который обычно неограничен, и часть ( оператор Вигнера), которая включает симметрию вращений и которая ограничена. [26]
 |
Форма адиабатического потенциала для Г - терма в пространстве нормальных координат Q2 и 5з. [27] |
Рассмотрим сначала линейный случай. Выражая все матричные элементы через минимальное число констант, требуемое теоремой Вигнера - Эккарта ( III. [28]
Теорема Вигнера - Эккарта выражает матричные элементы тензорных операторов, которые непосредственно связаны с экспериментально наблюдаемыми значениями, в терминах коэффициентов Клебша - Гордана и приведенных матричных элементов. Коэффициенты Клебша - Гордана являются известными из математики величинами и вычисляются, исходя из свойств группы. Приведенные матричные элементы - это физические параметры, значения которых определяют по экспериментальным данным. Если наблюдаемая имеет еще какое-то дополнительное свойство, например (VI.3.12) для вектора Ленца в гл. VI, то для определения приведенных матричных элементов может потребоваться еще меньшее число параметров. Таким образом, значение теоремы Вигнера - Эккарта состоит в том, что она позволяет выразить большое число экспериментально наблюдаемых матричных элементов через намного меньшее число более фундаментальных величин - приведенных матричных элементов. Часто единственная информация о наблюдаемой состоит в том, что она представляет собой тензорный оператор, а теорема Вигнера - Эккарта тогда является единственным имеющимся в распоряжении средством. [29]
Теорема Вигнера - Эккарта выражает матричные элементы тензорных операторов, которые непосредственно связаны с экспериментально наблюдаемыми значениями, в терминах коэффициентов Клебша - Гордана и приведенных матричных элементов. Коэффициенты Клебша - Гордана являются известными из математики величинами и вычисляются, исходя из свойств группы. Приведенные матричные элементы - это физические параметры, значения которых определяют по экспериментальным данным. Если наблюдаемая имеет еще какое-то дополнительное свойство, например (VI.3.12) для вектора Ленца в гл. VI, то для определения приведенных матричных элементов может потребоваться еще меньшее число параметров. Таким образом, значение теоремы Вигнера - Эккарта состоит в том, что она позволяет выразить большое число экспериментально наблюдаемых матричных элементов через намного меньшее число более фундаментальных величин - приведенных матричных элементов. Часто единственная информация о наблюдаемой состоит в том, что она представляет собой тензорный оператор, а теорема Вигнера - Эккарта тогда является единственным имеющимся в распоряжении средством. [30]
Страницы: 1 2