Cтраница 1
Теоремы Сохоцкого и Пикара для таких С. [1]
Теоремы Сохоцкого - Племеля и Племеля - Привалова с учетом введенных условий сохраняют свою силу и для неограниченных контуров. [2]
Теорема Сохоцкого показывает, что если za - существенно особая точка голоморфной функции /, то множество, составленное из предельных точек последовательностей f ( zn) ni, где zn ni - любая сходящаяся к г последовательность в Сг, заполняет всю плоскость С. Этим оправдывается классификация изолированных особых точек голоморф-ныхх функций, проведенная на основе учета ненулевых членов в той части ряда Лорана, которая названа главной. В свою очередь название главная часть ряда Лорана отражает тот факт, что именно она в отличие от правильной части определяет поведение голоморфной функции в окрестности изолированной особой точки. [3]
Теорема Сохоцкого и предыдущие теоремы этого пункта позволяют утверждать, что в окрестности изолированной особой точки аналитическая функция либо стремится к определенному ( коночному или бесконечному) пределу, либо вполне неопределенна, т.е. стремится ( по различным последовательностям) к любому наперед заданному пределу. Никаких промежуточных случаев быть но может. [4]
Теоремы Сохоцкого - Племеля и Племеля - Привалова с учетом введенных условий сохраняют свою силу и для неограниченных контуров. [5]
Существенным обобщением теоремы Сохоцкого - Вей-ерштрасса является следующее утверждение, принадлежащее Пикару: в любой окрестности существенно особой точки аналитическая функция f ( z) принимает любое конечное значение а ( причем бесконечное число раз), за исключением, быть может, одного. [6]
Проверим справедливость теоремы Сохоцкого для первой из этих функций. [7]
Отсюда, вследствие теоремы Сохоцкого ( § 28), можем утверждать, что если z со есть существенно особая точка / ( z), то при изменении z вне любого сколь-угодно большого круга z R существуют значения / ( z), сколь-угодно близкие к любому наперед заданному комплексному числу, и даже ( согласно теореме Пикара) / ( z) принимает бесчисленное множество раз любое комплексное значение, кроме, быть может, одного. [8]
Переходя к доказательству теоремы Сохоцкого, предположим сначала, что А со. [9]
В случае коразмерности 1 теорема Сохоцкого о том, что при невырожденных голоморфных отображениях f: C m - Crt пересекаются почти все дивизоры, следует из неравенства Неванлинны. Но, как мы только что видели, для коразмерностей k 1 неравенство Неванлинны, вообще говоря, не имеет места, так что задача обобщения теоремы Сохоцкого усложняется. Вообще говоря, такое утверждение не имеет места: известный пример Фату ( см. ШП, стр. [10]
Следующий результат носит название теоремы Сохоцкого. [11]
В случае однозначных функций по теореме Сохоцкого область неопределенности изолированной существенно особой точки покрывает всю плоскость. [12]
Учитывая однолистность / ( z) и теорему Сохоцкого, легко заметить, что эти особые точки не могут быть существенно особыми, следовательно, в них / ( z) естественным образом доопределяется и становится мероморфной в D. Если бы она в двух точках D принимала одинаковое значение а, то в любой близости к этим точкам она принимала бы любые, достаточно близкие к а значения, что противоречит однолистности / ( z) в ее первоначальной области определения. [13]
Пусть теперь А есть произвольное конечное комплексное число. В этом случае теорема Сохоцкого справедлива. [14]
Таких дивизоров, следовательно, сравнительно мало, и пересечение каждого из них с образом f ( Cn) меньше обычного. Этот результат усиливает теорему Сохоцкого ( теорема 4 § 4), ибо дивизоры, которые не пересекаются с f ( O), имеют максимальный дефект и, значит, являются исключительными. [15]