Cтраница 2
В случае коразмерности 1 теорема Сохоцкого о том, что при невырожденных голоморфных отображениях f: C m - Crt пересекаются почти все дивизоры, следует из неравенства Неванлинны. Но, как мы только что видели, для коразмерностей k 1 неравенство Неванлинны, вообще говоря, не имеет места, так что задача обобщения теоремы Сохоцкого усложняется. Вообще говоря, такое утверждение не имеет места: известный пример Фату ( см. ШП, стр. [16]
Сахоцкого теорема показывает, что любое комплексное значение w из расширенной комплексной плоскости С является предельным для функции / ( z) в любой сколь угодно малой окрестности С. С за исключением, быть может, одного, даже принимается функцией / ( z), и притом бесконечно часто, в любой окрестности С. Теорему Сохоцкого иначе выражают, говоря, что предельное множество С ( а, /) функции / ( z) в С. [17]
Пусть теперь А есть произвольное конечное комплексное число. Может случиться, что в произвольно малой окрестности точки а существует точка z такая, что имеем f ( z) A. В этом случае теорема Сохоцкого справедлива. Таким образом, мы можем предположить, что в достаточно малой окрестности точки а функция / ( г) не равна А. [18]
Бореля идр, был накоплен ряд фактов, приведших к созданию теории распределения значений голоморфных функций. Триумф этой теории приходится на 20 - е годы нашего столетия и связан с работами скончавшегося в мае 1980 г. финского математика Рольфа Неванлинны, кото рый, в частности, выделил главные результаты в виде двух основных теорем. Первая из них сравнительно проста и выражает факты типа теоремы Сохоцкого, а вторая, более глубокая - факты типа теоремы Пикара. [19]
В частности, эти функции на окружности г 1 ограничены по модулю. Это утверждение равносильно тому, что функция / ( г) на всех окружностях z JAn имеет модуль, меньший постоянного числа. Так как функция, голоморфная в кольце, включая и его границу, достигает максимума своего модуля на границе, то / ( г) в области г; 1 / 2 меньше этого же постоянного числа. Это является противоречием с теоремой Сохоцкого, что и доказывает справедливость общей теоремы Пикара. Прилагая доказанное к функции / ( г / а) ( а 1), мы видим, что / ( г) в области Iz ] l / ( 2o) принимает все конечные значения, за исключением, быть может, одного. Но так как функция / ( г) обладает этим свойством в каждой области г; 1 / ( 2о), то она принимает все конечные значения, кроме исключительного, бесконечное число раз. [20]