Cтраница 1
Теорема Стоуна, устанавливая принципиальную возможность аппроксимации любой непрерывной функции функциями из алгебры B ( Q), не указывает, однако, правила построения аппроксимирующей функции. [1]
Доказательство теоремы Стоуна не столь просто, как доказательство теоремы Кзли о представлении групп подстановками. Именно поэтому проследить от пачала до конца весь ход рассуждений мы считаем весьма поучительным. Особенно длинен один из этапов доказательства. [2]
Доказательство теоремы Стоуна, намеченное выше, показывает, что кольцо R изоморфно некоторому кольцу множеств, одновременно открытых и замкнутых, в компактном хаусдорфовом пространстве. Если R - булевская алгебра, то R изоморфна кольцу всех множеств, одновременно открытых и замкнутых, в компактном хаусдорфовом пространстве. Слегка изменив обозначения в упр. Если некоторый класс подмножеств компактного хаусдорфова пространства, одновременно открытых и замкнутых, представляет собой базис и если он замкнут относительно образования конечных соединений, то он содержит все множества, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми. [3]
Важность теоремы Стоуна - Вейерштрасса в том, что она дает метод равномерной аппроксимации всех непрерывных вещественных функций, определенных на каком-либо компакте X, специальными классами функций. Действительно, каждая непрерывная вещественная функция на X может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована полиномами ( от нескольких переменных) от элементов произвольного фиксированного семейства непрерывных функций, разделяющего точки. Так как для каждого отрезка / ci JR семейство /, состоящее из функции /: J - - R, заданной правилом f ( x) x, разделяет точки, теорема 3.2.21 влечет за собой классическую теорему Вейерштрасса, которая утверждает, что каждая непрерывная вещественная функция на / является пределом равномерно сходящейся последовательности полиномов. [4]
Доказательство теоремы Стоуна - Вейерштрасса см. в [13], стр. [5]
Итак, теорема Стоуна о представлении двстрибутввных структур полностью доказана. [6]
Доказанная сейчас теорема Стоуна фактически эквивалентна утверждению о полупростоте каждой булевой алгебры. [7]
Этот результат известен как теорема Стоуна. [8]
Отметим, что доказательство теоремы Стоуна дает больше, чем утверждается теоремой: во всякое открытое покрытие пространства X, топология которого индуцирована некоторой псевдометрикой, можно вписать покрытие, одновременно локально конечное и а-дискретное. [9]
Отметим также, что теорему Стоуна о представлении для булевых алгебр можно получить как следствие теоремы Какутани [3] о представлении для абстрактных М - пространств. [10]
Но при одном дополнительном условии теорема Стоуна переносится и на алгебры, состоящие из комплекснозначных функций. [11]
Следующий факт понадобится при доказательстве теоремы Стоуна, но он представляет и самостоятельный интерес. [12]
Примером на эту теорему может служить теорема Стоуна о представимости бесконечных алгебр Буля. [13]
Построить представление, о котором говорится в теореме Стоуна, можно следующим образом. Пусть задана система подмножеств некоторого множества, выбранных так, что вместе с любыми двумя подмножествами она содержит их ( теоретико-множественное) пересечение и объединение. Наша задача состоит в том, чтобы по заданным подмножествам определить точки всего множества. [14]
Заметьте, что утверждение ( а) вытекает из теоремы Стоуна - Вейерштрасса без помощи теоремы Титце - Урысона ( см. упр. [15]