Cтраница 2
Заметьте, что если вполне регулярное пространство X удовлетворяет теореме Стоуна - Вейерштрасса, то X - компакт. [16]
В классической интерпретации данная постановка и ее решение основаны на теореме Стоуна. [17]
По теореме Стоуна, в открытое покрытие / ( V) Vfy пространства X можно вписать локально конечное покрытие t / s ss - Применяя теорему 1.5.18, выберем замкнутое покрытие Fs feS пространства X, такое, что FsczUs для каждого s ( S. Так как У локально конечно, из 3.10.11 следует, что семейство f ( Fs) S ( s есть локально конечное измельчение покрытия Т пространства У. [18]
Следовательно, если Im К0 УИ, то оператор ( К01 - Я - V) 1 отображает fei в себя. Согласно теореме Стоуна - Вейерштрасса ( IV. [19]
Структура всех подмножеств любого множества М является на самом деле булевой: роль единицы играет само множество М, роль нуля - пустое подмножество, дополнением к подмножеству А служит теоретико-множественное дополнение М А. Доказательство сформулированной выше теоремы Стоуна позволяет утверждать, что всякая булева структура изоморфно вкладывается ( как алгебра сигнатуры ( f, ( J, -, 1, 0)) в булеву структуру подмножеств некоторого множества. [20]
Структура всех подмножеств любого множества М является на самом деле булевой: роль единицы играет само множество М, роль нуля - пустое подмножество, дополнением к подмножеству А служит теоретико-множественное дополнение М А. Доказательство сформулированной выше теоремы Стоуна позволяет утверждать, что всякая булева структура изоморфно вкладывается ( как алгебра сигнатуры ( f), ( J, -, 1, 0)) в булеву структуру подмножеств некоторого множества. [21]
Вейерштрасса, но не совладает со всем RR, так как оно не содержит функцию sin я - это легко проверить. Можно доказать, что если вполне регулярное пространство X удовлетворяет теореме Стоуна - Вейерштрасса, то X является компактом ( см. упр. [22]
X ( t) в виде совокупности точек X ( t) - f / / A ( 0) гильбертова пространства HX и теоремы Стоуна о спектральном представлении однопарамет-рич. [23]
Параграф 3.2 посвящен изучению поведения компактных пространств при различных операциях, определенных в предыдущей главе. В этом параграфе доказываются теорема Тихонова, утверждающая, что произведение компактных пространств является компактным пространством ( один из самых полезных результатов общей топологии), и теорема Стоуна - Вейер-штрасса. [24]
Колмогоров ( 1941), применив методы исследования гильбертова пространства, подробно изучил случайные стационарные последовательности второго порядка. Крамер ( 1941) обобщил результаты Хинчина на векторный случай и получил ( 1942) теорему разложения в функциональных пространствах, которая по существу эквивалентна гармоническому разложению стационарных случайных функций второго порядка; это разложение является также непосредственным следствием теоремы Стоуна ( 1930) о группах унитарных операторов в гильбертовых пространствах. Все эти исследования ограничиваются стационарностью второго порядка. [25]
В гильбертовом пространстве из условия eitT M для всех t 6 R вытекает, что Т эквивалентен самосопряженному оператору и, следовательно, является оператором скалярного типа с вещественным спектром. Это следует из леммы XV.6.1, из которой вытекает, что ограниченная группа G eltT t 6 R ] эквивалентна группе унитарных операторов. По теореме Стоуна эта группа унитарных операторов имеет инфинитезимальную образующую iA, где А - самосопряженный оператор. R не влечет за собой спектральности оператора Т, даже если Ж рефлексивно. [26]
Алгебра Н называется полупростой, если пересечение всех ее максимальных идеалов совпадает с нулем. Полупростая алгебра аппроксимируется простыми. Имеет место следующий аналог теоремы Стоуна из предыдущей главы. [27]
Однако от подобных надежд, сколь бы привлекательными они ни казались, необходимо сразу же отказаться, поскольку структура подмножеств любого множества дистрибутивна и, следовательно, может служить представлением только дистрибутивной структуры, но зато для дистрибутивных структур задача построения представлений при помощи структуры подмножеств разрешима. Точная формулировка этого утверждения известна под названием теоремы Стоуна. [28]
Какие-либо примеры обыкновенных или обобщенных случайных процессов удобнее приводить после того, как будет построена общая теория, состоящая в изучении преобразования Фурье. Следует иметь в виду одну историческую особенность. Спектральное разложение стационарного случайного процесса, эквивалентное его преобразованию Фурье, было впервые выведено А. Н. Колмогоровым как частный случай так называемой теоремы Стоуна о спектральном разложении однопараметрической группы унитарных операторов. При этом прямое и обратное преобразования Фурье оказались переставленными. [29]