Cтраница 2
Аналогичное соответствие можно установить для всякой функции действительного переменного дт, непрерывной в некотором интервале, например в интервале ( 0, 2тг); можно взять за координату с номером p - fl точки Р значение ap ibp, образованное коэфициентами при cospx и sinpx разложения в ряд Фурье ( Fourier), сумма которого, полученная методом среднего арифметического, в силу теоремы Фейера ( Fejer) равна функции. [16]
В теореме Фейера достигнута определенная симметрия между условием и утверждением теоремы. [17]
Теорема Фейера - для пространства Lt. В теореме Фейера достигнута определенная симметрия между условием и утверждением теоремы. [18]
Для достижения сходимости интерполяционного процесса решающее значение имеет правильный выбор системы узлов интерполяции и вида интерполяционного полинома. В то же время по теореме Фейера для заданной интерполирующей непрерывной функции можно подобрать систему узлов интерполяции, обеспечивающую сходимость процесса. Неправильный выбор системы узлов интерполяции может привести к расходящемуся процессу или к плохо обусловленной системе уравнений. При распространении этих положений теории интерполяции на методику выбора аппроксимирующей функции и систему точек граничной коллокации становится ясным, почему авторам, применявшим для выбора точек систему равноотстоящих узлов, не удавалось получить решение сложных, важных для практики задач. Проведенные исследования показали, что именно система равноотстоящих узлов дает наихудший результат, часто приводит к расходящемуся процессу. В то же время наличие точек коллокации в нулях полинома Чебышева первого или второго рода обычно обеспечивает возможность решения задач. [19]
Важен тот факт, что система 1; cos nx, sin nx является полной. Можно дать различные доказательства полноты этой системы, многие из которых элементарны. Мы предпочтем доказательство, основанное на теореме Фейера, которая важна и сама по себе. [20]