Cтраница 1
Теорема Шаудера ( см., например, [66]) гласит, что каждое непрерывное отображение в себя выпуклого компакта имеет по крайней мере одну неподвижную точку. [1]
Теорема Шаудера - Тихонова отличается от теоремы Маркова - Какутани тем, что в ней участвует только одно отображение и зато, однако, на это отображение и не накладывается никаких ограничений, кроме непрерывности. [2]
Отсюда применением теорем Шаудера и Каччиополи получаются теоремы существования и теоремы единственности решения уравнения ( 1 1); кроме того, доказываются некоторые теоремы существования путем сравнения нелинейного уравнения с некоторым линейным уравнением. [3]
Хорошо известны приложения теоремы Шаудера о неподвижной точке, являющейся обобщением классической теоремы Брауэра и в свою очередь обобщенной А. Н. Тихоновым; теоремы Банаха о сжимающих отображениях и всевозможные ее обобщения; приложения метода Лере - Шаудера. Их дальнейшее развитие в работах Смейла, Атьи, Браудера позволило перенести упомянутые результаты на поля операторов; в их конструкции центральное место принадлежит компактности. [4]
Тогда существование неподвижной точки следует из так называемой слабой теоремы Шаудера, которая будет доказана для случая гильбертова пространства. Разумеется, надо найти замкнутое выпуклое множество, которое отображение Ф переводит в себя. Это можно сделать, если коэффициент трения достаточно мал. Приведем также оценки ( без доказательств) для коэффициента трения, которые подходят под эту теорию и удовлетворяют практическим требованиям. Мы рассмотрим все основные идеи доказательств. [5]
Применяя к преобразованию А выпуклого компакта Ф в себя теорему Шаудера о неподвижной точке, получаем, что решение и ( х) нашей задачи существует. [6]
Наш третий главный результат ( теорема 3.6.1) заключается в упомянутой выше теореме Шаудера - Тихонова. В этой теореме ослабляется условие линейности, налагаемое на отображения, поэтому она обладает большей общностью. [7]
Доказать компактность множества / С и затем применить предыдущее упражнение вместе с теоремой Шаудера - Тихонова. [8]
В силу ограниченности функций / / нелинейный оператор ( 2) удовлетворяет условиям теоремы Шаудера о неподвижной точке [3], что гарантирует существование хотя бы одного решения. [9]
Оператор Л, сопряженный с компактным оператором А в банаховом пространстве, компактен ( теорема Шаудера), однако в общем случае это неверно даже в ЛВП. [10]
Позднее Фан [1] получил теорему, которая обобщает одновременно теорему Какутани ( с конечномерных на бесконечномерные пространства) и теорему Шаудера - Тихонова. [11]
Так как множество функций Ф является компактным в С ( Пт), то оператор Ф является вполне непрерывным и по теореме Шаудера [38] имеет неподвижную точку. Из уравнения для разности двух возможных решений ( то есть при rjQ h 0), в силу оценки (2.27) и (2.28) следует, что это решение будет единственным в этой области. [12]
Существуют и другие обобщения принципа Шаудера, в том числе на многозначные отображения, однако во всех случаях необходимо предполагать выпуклость множества С, без чего теорема Шаудера и ее обобщения становятся неверными. Возможно комбинирование принципа Ша-удера и принципа сжимающих отображений. Пусть оператор F, преобразующий ограниченное замкнутое выпуклое множество С банахова пространства X в себя, можно представить в виде FjF1 F. [13]
Поэтому, если в качестве ограниченного замкнутого выпуклого множества S взять шар в L2 [ a, b ] с центром в нуле и радиусом, равным правой части ( 8), то будут выполнены все условия теоремы Шаудера. [14]
Доказательства в [31] и теоремы 12.5 осуществлены в предположении линейного роста функции f ( x, у, и, р, q), аналогичного (12.27), и основаны на оценках в С1а для линейных уравнений и теореме Шаудера о неподвижной точке. Ив [31], и в теореме 12.5 не делаются априорные предположения о решениях. [15]