Cтраница 1
Теорема Энгеля для бинарно лиевых алгебр. [1]
Теорема Энгеля может быть выведена из следующего результата, который интересен и сам по себе. [2]
Из теоремы Энгеля следует не только разрешимость, но и нильпотентность всякой унипотептной линейной алгебры Ли. Определение пильпотент-пой алгебры Ли см. в упражнении 1.2.16.) В самом деле, легко видеть, что алгебра Ли нильтреугольных матриц нильпотентна. Следствие 1 теоремы Эпге-ля показывает, что всякая унипотентная линейная алгебра Ли изоморфна некоторой ее подалгебре и потому также нильпотентпа. Однако обратное неверно: существуют нильпотентные линейные алгебры Ли, не являющиеся упипотент-ными, например алгебра треугольных матриц с одинаковыми элементами на диагонали. [3]
Из теоремы Энгеля следует, что конечномерная алгебра Ли Я нильпотентна тогда и только тогда, когда ad a 0 при нек-ром гс и всех г. я т - е - когда любой я. [4]
Утверждение тогда доказывается с помощью следствия 1 теоремы Энгеля. [5]
Первая часть теоремы вытекает из задачи 15 и следствий теоремы Энгеля. [6]
Теорема 17.5 и ее следствие могут рассматриваться как точный аналог теоремы Энгеля для алгебр Ли. Мы можем также доказать хороший аналог теоремы Ли ( если наложим предположение о связности); это удается сделать в произвольной характеристике, хотя соответствующая теорема для алгебр Ли в положительной характеристике не имеет места. [7]
Для дальнейшего нам понадобятся упражнения 1.4, 1.8 н 1.9. Кроме этого потребуются лишь элементарные результаты и теорема Энгеля о том, что если присоединенный эндоморфизм ad а любого элемента а из 8 нильпотентен, то алгебра 8 ннльпотентна. [8]
Доказательство будет приведено в следующем пункте. С помощью теоремы Энгеля легко доказать нильпотентность алгебры n ( n, F), не вычисляя ее убывающий центральный ряд в явном виде. [9]
Теперь мы готовы к тому, чтобы получить мощный критерий разрешимости алгебры Ли L в терминах следов некоторых ее эндоморфизмов. В свою очередь, теорема Энгеля утверждает, что алгебра [ L, L ] нильпотентна, если ( и только если) все операторы ad [ L L ] х, х Е [ L, L ], нильпотентны. [10]
I ( том II) следует, что представление а полупростое. Элементы из а ( т), очевидно, нильпотентны; поэтому из следствия 1 теоремы Энгеля ( § 1 гл. [11]
О, если ft повторяется как сомножитель достаточно большое число раз. Тогда ограничение adsft преобразования ad ft на 23 нильпотентно, и идеал 23 нильпотентен по теореме Энгеля. [12]
Так как все простые представления, содержащиеся в р, являются нулевыми представлениями ( следствие 2 теоремы Энгеля, § 1 гл. [13]
Значит, эндоморфизм adL х нильпотентен при x E [ L, L ]; эндоморфизм ad [ L L ] x тем более нильпотентен, так что алгебра [ L, L ] нильпотентна по теореме Энгеля. [14]
Следующая лемма имеет некоторое сходство с теоремой Энгеля. [15]