Cтраница 2
Пусть X - элемент из г, такой, что р ( Х) нильпотентен, и пусть X - его класс ( modn); тогда и т ( ЛГ) нильпотентен. Пусть - такой идеал в g, что все элементы из p ( Ij) нильпотентны; тогда нильпотентны будут также все элементы из о ( fy) ( 1 / г), откуда а ( ф) 0, поскольку представление о простое ( следствие 1 теоремы Энгеля, § 1 гл. [16]
Пространство V есть прямая сумма пространства W и некоторого допустимого подпространства W. Тогда операторы из рг () нильпотентны, но ни один ненулевой элемент из W не аннулируется всеми этими операторами. Из теоремы Энгеля следует, что W 0, так что W V, и следствие 1 доказано. [17]
Мы видели, что размерность фиттинговой нуль-компоненты линейного преобразования А равна кратности корня 0 характеристического многочлена / ( X) det ( Xl - А) преобразования А. Следовательно, элемент h регулярен тогда и только тогда, когда кратность характеристического корня 0 для ad h минимальна. Заметим также, что алгебра 8 имеет ранг, равный размерности над основным полем, в том и только в том случае, когда каждый эндоморфизм ad А нильпотентен. По теореме Энгеля это условие выполняется тогда и только тогда, когда 8 - нильпотентная алгебра Ли. Регулярные элементы могут быть использованы для конструирования подалгебр Картана в силу следующего утверждения. [18]