Cтраница 2
Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. [16]
Докажем следующую интересную теорему, которая носит название теоремы Гамильтона - Кэли. [17]
Другой аналогичный результат такого же типа относится к теореме Гамильтона - Якоби. Предположим, что для заданной динамической системы с функцией Гамильтона Н нам известен полный интеграл S ( q; a; t) уравнения Гамильтона в частных производных. [18]
Теперь становится очевидной тесная связь доказанной теоремы с теоремой Гамильтона - Якоби. [19]
Большинство систем, встречающихся в приложениях, консервативны, и поэтому теорема Гамильтона - Якоби чаще всего применяется в указанной выше форме. [20]
В коммутативном случае любое линейное преобразование является корнем некоторого многочлена степени п ( теорема Гамильтона - Кели), который есть подходящее кратное минимального многочлена этого преобразования. Последнее утверждение в общем случае не выполняется. [21]
Эти уравнения имеют вид, аналогичный уравнениям (16.5.5) - (16.5.7), полученным из теоремы Гамильтона - Якоби. [22]
Эквивалентный путь получения уравнения ( 6 - 3.23) состоит в повторном применении теоремы Гамильтона - Кэли. [23]
В заключение остановимся коротко на одном обстоятельстве, имеющем важное значение для приложений теоремы Гамильтона - Якоби. [24]
Теорема 1.7 принадлежит Смолвуду [106], который также дал алгоритм нахождения точек безразличия, используя теорему Гамильтона - Кэли из линейной алгебры. [25]
Казалось бы, det ( tE - A) tA det ( AE - A) det 0 0, и теорема Гамильтона - Кэли доказана. [26]
Действительно, ( / - Х) г f, ( / - lY1 FI ( I) P ( f) 0 по теореме Гамильтона - Кэли. [27]
Первые п уравнений определяют обобщенные координаты г / как функции t и 2п произвольных постоянных ал, JJ. Из теоремы Гамильтона - Якоби вытекает, что асимптотические методы решения канонических систем ( 1) и уравнения ( 38) эквивалентны с точки зрения полноты и точности их решения. Поэтому их применение в конкретных задачах в большой степени определяется привычкой и желанием исследователя. [28]
Следующее предложение вытекает из теоремы Гамильтона - Кэли. [29]
Однако, если для голономных систем теорема Гамильтона - Якоби в неголономных координатах доказывается совершенно гладко, то в применении к системам с неголономными связями встречается затруднение, состоящее в том, что в канонических уравнениях движения в неголономных координатах число членов с коэффициентами Риччи - Гамеля уменьшается. Вследствие такой неполноты доказательство теоремы Гамильтона непосредственно не проходит. Мы попытались обойти данное затруднение, применяя все исследование к системам типа Чаплыгина с циклическими координатами; для независимости же результатов от порядка преобразований, о чем говорилось выше, кинетическая энергия пересчитывалась в нормальных координатах. При всех перечисленных условиях теорема Гамильтона - Якоби доказывается. Однако следует помнить, что даже классическая теорема Гамильтона - Якоби в голономных координатах для голономных же систем далеко не всегда приводит к решению задачи о нахождении всех интегралов уравнений движения, в силу затруднительности интегрирования самого уравнения в частных производных Гамильтона - Якоби. [30]