Cтраница 1
Метризационная теорема Александрова - Урысона. [1]
Метризационная теорема Нагаты - Смирнова. Топологическое пространство метризуемо в том и только том случае, когда оно регулярно и имеет а-локально конечную базу. [2]
Метризационная теорема Мора имеет длинную историю. В настоящем виде она была доказана независимо А. Стоуном в 11960 ] и Архангельским в [ 1961 а ], где было введено понятие сильного измельчения. Фринка, установленная в [1937] ( см. упр. С), может рассматриваться как еще одна разновидность той же теоремы. [3]
Известно много других метризационных теорем. Некоторые из них формулируются ниже в упражнениях. Есть также много способов выводить их одну из другой. Ясно, что доказательство теоремы, устанавливаемой первой, должно содержать построение метрики. В этой книге мы начали с теоремы Нагаты - Смирнова. Можно было бы начать со следствия 5.4.10 ( эскиз построения метрики для этого случая дан в упр. До открытия метризационной теоремы Нагаты - Смирнова и теоремы 8.1.21 в качестве первого звена обычно бралась теорема Читтендена ( формулируемая ниже в упр. G), которая сводит существование метрики к существованию функции р с более слабыми свойствами. Хотя характеристика метризуемости, данная Чит-тенденом, не является чисто топологической, она была важным достижением в изучении метризуемости. [4]
Примените метризационную теорему Нагаты - Смирнова для решения упр. [5]
Примените метризационную теорему Нагаты - Смирнова для выполнения упр. [6]
Следующие две метризационные теоремы формулируются в терминах специальных баз. [7]
Согласно известной из общей топологии метризационной теореме Урысона регулярное пространство со счетной базой метризуемо. Поскольку любое метризуемое пространство удовлетворяет, очевидно, первой аксиоме счетности, отсюда следует, что Клеточное пространство тогда и только тогда метризуемо, когда оно локально конечно. [8]
Теоремы 4.2.8 и 4.2.9 - это метризационные теоремы: они устанавливают в терминах топологических инвариантов ( вторая аксиома счетности и регулярность соответственно) необходимые и достаточные условия метризуемости для двух специальных классов топологических пространств: компактов и пространств со второй аксиомой счетности. [9]
Теорему 8.1.21 можно рассматривать как аналог метризационной теоремы Александрова - Урысона для равномерных пространств, доказанную этими авторами в [1923] ( ср. [10]
Эти условия составляют содержание общих или специальных метризационных теорем. [11]
Мы заключаем этот параграф наиболее ранней в хронологическом отношении метризационной теоремой. [12]
Рассмотрите псевдометрики р -, &, определенные в доказательстве метризационной теоремы Нагаты-Смирнова, и заметьте, что семейство / г, fe % 1 отображений ft, : X - X / pitk, определенных в упр. Применяя теорему о диагональном отображении, выведите отсюда, что пространство X метризуемо. [13]
Последний параграф является продолжением § 4.4; в нем приводятся еще пять метризационных теорем. [14]
Замечание 2.13. Счетная база очевидно является / VS-базой, поэтому теорема 2.15 содержит в себе метризационную теорему Урысона как частный случай. [15]