Cтраница 2
Покажем, что W, Wi, - сильное измельчение пространства X, чем, в силу метризационной теоремы Мора, доказательство будет завершено. Пусть х - произвольная точка пространства X и U - любая ее окрестность. [16]
Заметим, что в последнем доказательстве вместо метризационного критерия Бинга можно было бы применить лемму 5.4.7, теорему Майкла - Нагами и метризационную теорему Нага-ты - Смирнова. [17]
Из теоремы I легко следует факт, уже отмеченный в начале § 1, именно, что каждое нульмерное метризуемое пространство со счетной базой ( следовательно, в силу известной метризационной теоремы каждое регулярное нульмерное топологическое пространство со счетной базой) может быть взаимно однозначно и взаимно непрерывно отображено на подмножество множества иррациональных чисел. [18]
Оказывается, кроме того, что пространство / 7 обладает локальной счетной базой к каждой своей точке и тем не менее не является метризуемым, ибо тогда оно должно было бы быть наследственно сепарабельпым. Далее, в силу первой метризационной теоремы заключаем, что Н не обладает счетной базой. [19]
Выполнение первой аксиомы счетности и нормальность пространства являются необходимыми условиями для метризуемости. Теоремы, в которых даются достаточные условия метризуемости, носят название метризационных теорем. [20]
Пусть X - бикомпакт п обладает счетной базой. Поскольку всякий бикомпакт нормален, то метризуемость пространства X непосредственно следует из первой метризационной теоремы Урысона. [21]
Сначала рассмотрим частный случай, когда само X локально бикомпактно, хаусдорфово и обладает счетной базой. В силу следствия 2 теоремы 4.7 пространство X регулярно. Поскольку X обладает счетной базой, то согласно первой метризационной теореме Урысона пространство X метризуемо. [22]
Возникает вопрос, существует ли внутренняя характеристика метризуемых пространств. Как мы увидим в дальнейшем, ответ на этот вопрос положителен. Теоремы, дающие необходимые и достаточные внутренние условия метризуемости топологических пространств, сформулированные в терминах топологических инвариантов, называются метризационными теоремами. [23]
Рассмотрим теперь любое Ггпространство X с регулярной базой &. Легко проверить, что множества U и V, фигурирующие в определении регулярной базы, удовлетворяют включению V с U. Следовательно, пространство X регулярно. Для завершения доказательства достаточно применить лемму 5.4.5 и метризационную теорему Нагаты - Смирнова. [24]
В этой работе проблема метризации топологических пространств была решена впервые. Искусственность всего построения косвенно подтверждается тем, что из данного общего условия метризуемости топологического пространства никак не вытекают классические урысоновские условия для метризуемости, с одной стороны, компактных пространств, а с другой, - пространств со счетной базой. Но во всех этих метризационных теоремах даются столь же громоздкие и столь же искусственные критерии, так что за двадцать семь лет, истекших после первого решения метризационной проблемы, она так и не получила какого-либо существенно нового, более удовлетворительного решения. Поэтому возникло казавшееся вполне обоснованным мнение, что проблема эта и не имеет естественного и простого решения. [25]
Я сохранил также стиль изложения, помня все время о том, что дело касается произведения, одного из авторов которого уже нет в живых. Вместе с тем весь текст первого издания подвергся довольно существенной переработке в деталях: в доказательства многих теорем внесены упрощения и другие усовершенствования. Я думаю, что устаревших рассуждений читатель здесь найдет немного, несмотря на то, что со времени написания работы прошло свыше двадцати пяти лет. В частности, переработке подверглось изложение метризационной теоремы для локально компактных пространств ( гл. Кроме того, всюду изложению придана несколько большая сжатость, вызванная тем, что многие вещи, воспринимающиеся сейчас как очевидные, не казались такими четверть века назад. Однако элементарный характер изложения и независимость его от других произведений топологической литературы полностью сохранены. [26]
Известно много других метризационных теорем. Некоторые из них формулируются ниже в упражнениях. Есть также много способов выводить их одну из другой. Ясно, что доказательство теоремы, устанавливаемой первой, должно содержать построение метрики. В этой книге мы начали с теоремы Нагаты - Смирнова. Можно было бы начать со следствия 5.4.10 ( эскиз построения метрики для этого случая дан в упр. До открытия метризационной теоремы Нагаты - Смирнова и теоремы 8.1.21 в качестве первого звена обычно бралась теорема Читтендена ( формулируемая ниже в упр. G), которая сводит существование метрики к существованию функции р с более слабыми свойствами. Хотя характеристика метризуемости, данная Чит-тенденом, не является чисто топологической, она была важным достижением в изучении метризуемости. [27]