Cтраница 2
Леммы о бесконечно малых. В дальнейших теоремах нам придется рассматривать одновременно две варианты ( или больше), сочетая их между собой знаками арифметических действий. При этом, как и выше, мы относим эти знаки к соответствующим значениям вариант. [16]
В пункте 2.7 была доказана интерполяционная теорема Мар-цинкевича. Для доказательства дальнейших теорем о потенциалах нам понадобится существенное усиление этой теоремы, принадлежащее Стейну и Уэйссу. [17]
Эта теорема будет нами доказана в § 27 главы I. Здесь мы упоминаем ее потому, что без нее нельзя доказывать дальнейшие теоремы. [18]
Замечание 42.2. Если рассматривается задача о максимуме ( а не о минимуме) функционала (40.5), то теорема сохраняется в том же виде, с той лишь разницей, что в соотношении о 0 знак неравенства заменяется на противоположный. Это замечание относится и ко всем последующим теоремам. Однако в дальнейших теоремах будет участвовать неравенство ф010, где случай o 0 не исключается. [19]
Это направление получило дальнейшее развитие в работах Di Perna [1], [2], где дополнительные законы сохранения применяются к затуханию ударных волн и дальнейшим теоремам существования. В работах Morawetz [1], Strauss [1] изложено их применение в теории рассеяния. В теории упругости законы сохранения ( или, скорее, соответствующие им дифференциальные формы - см. упр. В работе Knops, Stuart [1] они используются для доказательства теорем единственности для упругого равновесия. [20]
Рассмотрим например, пересечение двух сфер. Согласно общему положению они пересекаются всегда по кривой четвертого порядка. В частном случае, когда действительного пересечения нет, эта линия считается мнимой. Но когда сферы пересекаются, то, кроме одной действительной окружности, в состав линии пересечения входит еще мнимая окружность. Если этого не принимать во внимание, то окажутся нарушенными и общее положение о порядке линии пересечения и все дальнейшие теоремы. [21]