Cтраница 2
Центральный результат этой главы - существование деформаций, содержащих все функции, близкие к данной ( пп. Мы лишь намечаем основные шаги доказательства, так как для того, чтобы провести его во всей полноте, нужен, увы, технически весьма сложный кусок математики, именуемый подготовительной теоремой Мальгранжа, который мы предпочитаем опустить. [16]
Доказательство теоремы 8.6, однако, не так близко к этому своему аналогу, как доказательства теорем 8.1 - 8.4 к тем конечномерным рассуждениям, которые предшествовали им. В некоторых отношениях в подготовительной теореме Мальгранжа есть что-то от теоремы о неявной функции, и значительные усилия были потрачены для того, чтобы сформулировать и доказать бесконечномерную теорему о неявной функции, использование которой сделало бы доказательство теоремы 8.6 в точности подобным приведенному выше. [17]
Даже в этом простейшем нетривиальном случае функций одной переменной, по-видимому, нет простого доказательства великой теоремы, подобного тому, которое было дано в § 3 гл. Любая попытка голыми руками доказать сделанное утверждение, даже с одной только переменной t, приводит к подготовительной теореме Мальгранжа ( строгие источники) или, что эквивалентно, к теореме деления. Обсуждение этого вопроса можно найти в книге Мартинэ [31]; оно лежит за пределами принятых нами рамок. Нужно указать, что необходимость подготовительной теоремы в настоящем контексте впервые была понята Томом. Мальгранж вначале даже не поверил, что она может быть справедливой, и лишь настойчивость Тома убедила его в этом и склонила к тому, чтобы заняться ее доказательством. Том не публиковал первого ее доказательства - он не опубликовал никакого ее доказательства - но он почувствовал сам результат и оркестровал его доказательство. Нечасто случается, чтобы центральный результат теории, высказанный впервые, был встречен с недоверием главным экспертом в этой области. Теория катастроф, как мы не устаем повторять на протяжении всей книги, является расширением математического анализа или разработкой в его рамках, но не отходом, подобным ньютоновскому ( как это иногда утверждается), от предшествующего описания мира. Однако разработка эта ни в какой мере не является тривиальной или стандартной. [18]
Изучение двойных точек проективного соответствия необходимо потому, что на знании их свойств основаны доказательства других теорем. Двойными точками называются совпавшие точки в проективном соответствии на одной и той же прямой. Возможность существования двойных точек очевидна, так как легко представить, что при движении точек в одном направлении одна может обогнать другую и в момент обгона совпадет с ней. Также при движении точек навстречу ДРУГ ДРУГУ они встретятся. Но совеем не очевидно, что в проективном соответствии больше двух двойных точек на прямой быть не может. Это будет составлять содержание основной теоремы в следующем пункте, но для ее доказательства нужны подготовительные теоремы. [19]