Cтраница 2
Доказательство этой теоремы, а также последующей теоремы 4 принципиально ничем не отличается от доказательства аналогичных теорем для системы дифференциальных уравнений. Теорема 3 позволяет существенно упростить исследование устойчивости линейных систем разностных уравнений, так как ограниченность решений этих систем можно установить непосредственно по виду общего решения. [16]
Отметим, что в формулировке каждой из последующих теорем постоянная С положительна и зависит только от рассматриваемого решения вырожденного уравнения. [17]
Это же замечание относится и ко всем последующим теоремам подобного рода. [18]
Это обязывает нас внести соответствующие изменения в формулировки и доказательства последующих теорем. [19]
Для Р ( k; 3) соответствующие ответы составляют содержание последующих теорем. Первая из них есть теорема Янова. [20]
Вместо того чтобы перечислять всевозможные меры длины, большинство из которых нам не понадобится, мы сейчас рассмотрим требования ( аксиомы), которым должна удовлетворять произвольная мера длины. Все последующие теоремы о расстояниях будут доказаны в рамках этих аксиом, то есть в наиболее общем виде. В математике принято вместо выражения мера длины использовать термин метрика. [21]
Обратим внимание на один недостаток теорем 6.5 и 6.6. Условия этих теорем не дают оценки со-периодических решений. В последующих теоремах такие оценки будут получаться автоматически; это обстоятельство весьма важно для излагаемой ниже теории ограниченных решений. [22]
Так как длины кодовых слов любого однозначно декодируемого кода удовлетворяют (3.2.3) и так как можно построить префиксный код для любого множества длин, удовлетворяющих (3.2.3), то любой однозначно декодируемый код можно заменить на префиксный код без изменения длин кодовых слов. Таким образом, последующие теоремы относительно средней длины кодового слова приложимы как к однозначно декодируемым кодам, так и к подклассу префиксных кодов. [23]
Замечание 42.2. Если рассматривается задача о максимуме ( а не о минимуме) функционала (40.5), то теорема сохраняется в том же виде, с той лишь разницей, что в соотношении о 0 знак неравенства заменяется на противоположный. Это замечание относится и ко всем последующим теоремам. Однако в дальнейших теоремах будет участвовать неравенство ф010, где случай o 0 не исключается. [24]
Этот вопрос для произвольной модели 21 чрезвычайно труден, так как из ответа на него вытекают решения некоторых проблем логики второго порядка, которыми мы еще не располагаем. Если вопрос ставится для всего класса моделей 21 языка X, как, например, в теореме Бета и в некоторых наших последующих теоремах этого раздела, то можно получить очень элегантные ответы. [25]
Означивание приписывает истинностное значение, t или /, атомам языка. Истинностное означивание является расширением означивания на множество высказываний языка. В последующей теореме 1.3.4 будет доказано, что каждое означивание может быть однозначно расширено до истинностного означивания. [26]
В данном разделе нам понадобятся основные свойства конструктивных множеств. Вместо этого будет приведен краткий обзор, предназначенный в основном для фиксирования обозначений и содержащий только необходимые для последующих теорем сведения. [27]
Геделева нумерующая позволяет рассматривать интерпретируемые языки не только как языки, описывающие натуральные числа ( т.е. имеющие множество натуральных чисел в качестве области их предполагаемой интерпретации), но и как относящиеся к нумерованным выражениям. При этом возникает возможность того, что некоторые предложения, очевидным образом относящиеся к некоторым числам, имея в виду геделеву нумерующую, можно считать относящимися к некоторым выражениям, идентичным самим этим предложениям. Описываемое положение дел не просто возможно: доказательство леммы о диагонализации выявляет, как подобная ситуация возникает, а последующие теоремы показывают, как ее можно использовать. [28]
Все три признака равенства треугольников обычно доказываются в начале изучения систематического курса планиметрии. Общеизвестно, с какими большими трудностями сталкиваются шестиклассники при доказательстве третьего признака равенства треугольников. Анализ ныне действующих программ и учебных пособий по геометрии показывает, что в начале шестого класса необходимо изучить только первый и второй признаки равенства треугольников, с помощью которых ведется доказательство всех последующих теорем. Доказательство третьего признака равенства треугольников и всех трех признаков подобия треугольников выполняется достаточно просто с применением теорем косинусов и синусов. [29]