Cтраница 1
Высказанная теорема имеет очень важное производственное значение. В самом деле, если полученные указанным способом профили являются сопряженными, то они будут взаимно огибаемыми кривыми в относительном движении. [1]
Высказанная теорема представляется весьма важной по тем двум л следствиям из нее, которые мы сейчас установим. Положим, что они имеют в параллелограмме периодов одинаковые полюсы, с одинаковыми бесконечными частями. [2]
Высказанная теорема представляется весьма важной по тем двум следствиям из нее, которые мы сейчас установим. Положим, что они имеют в параллелограме периодов одинаковые полюсы, с одинаковыми бесконечными частями. [3]
Высказанная теорема значительно более точная, чем та, которая касалась неподвижного сосуда в прошлом параграфе. Мы не имеем здесь надобности знать скорости жидкости на стенках, известно только, что эти скорости каса тельны к стенкам и что нормальная скорость в какой-нибудь точке стенки равна нормальной составляющей скорости перемещения последней. Естественно предвидеть, что здесь, где рассматриваются только две координаты вместо трех, логарифмические потенциалы будут mutatis mutandis играть роль, которую в трех измерениях играют потенциалы массовые. [4]
После этих замечаний высказанная теорема доказывается уже совсем просто. Действительно, пользуясь произволом в выборе с, можно достичь того, чтобы при любом наперед заданном t при некотором х х0 величины v ( х0, t) и vta ( x0, t) совпали. [5]
Полученные неравенства доказывают высказанную теорему. [6]
Для доказательства второй части высказанной теоремы предположим сначала, что функция / ( z) имеет один простой полюс с внутри петли Fx или на петле Fx ( с отлично от я), и пусть R O будет его вычет. [7]
Следует заметить, что для справедливости высказанной теоремы не является необходимым, чтобы движение, представляемое компонентами и, v, w, было медленным или чтобы это движение было вообще динамически возможно как установившееся движение; необходимо только, чтобы были выполнены соотношения ( 7) и уравнение непрерывности. Например, для каждого движения между концентрическими сферами рассеяние необходимо оказывается ббльшим, чем найденное в § 334 значение, и потому необходимый для поддержания движения момент вращающей пары N должен превосходить данное там значение. [8]
Имея это, остается почти простое переписывание, чтобы доказать высказанную теорему. [9]
В том случае, когда внешние силы не имеют однозначного потенциала или когда мы на граничной поверхности задаем вместо определенных значений скоростей определенные значения напряжений, высказанные теоремы должны быть несколько видоизменены. [10]
Поэтому можно было бы на поверхности, дающей относительный минимум, вырезать при помощи круглого цилиндра достаточно [ малую часть, чтобы экстремальная поверхность, проходящая через этот контур существующая в силу высказанной теоремы), находилась в области минимума рассматриваемой поверхности, что невозможно. [11]
Пусть v есть общая скорость трех точек; эти точки имели бы такую же скорость в поступательном движении со скоростью v, поэтому мгновенное движение твердого тела совпадает с этим поступательным движением. Высказанная теорема означает только, что все точки тела имеют одну и ту же скорость v в момент t; никаких других выводов из нее сделать нельзя. В частности, если в момент t скорости трех точек, не лежащих на одной прямой, равны нулю, то скорости всех других точек тела тоже равны нулю. [12]
Отметив, что во всех примерах ( см. примеры на стр. Коши прибавляет: Если быть уверенным в том, что это всегда так, то в высказанной теореме можно освободиться от упоминания о производной; но так как на этот счет нет достаточной уверенности, то будет более строгим выражать теорему в терминах, которыми мы пользовались выше. Впоследствии, в 1851 г., Коши снова снимает требование непрерывности производной, считая его излишним. [13]
Процесс Хоукинга приводит к испарению черной дыры. Качественно это можно понять как образование пар частиц в гравитационном поле черной дыры, аналогично тому, как сильное электрическое поле может рождать пары из вакуума. Во время испарения черной дыры ее масса М, а следовательно, А ( и 5) уменьшаются, так что возникает кажущееся противоречие с ранее высказанной теоремой о площадях. Но теперь уже сама теорема о площадях должна быть заменена обобщенным вторым законом термодинамики черных дыр: в любом взаимодействии сумма энтропии всех черных дыр и энтропии вещества вне черных дыр не уменьшается. [14]
Положим, что f ( z) отлична от нуля в некоторой точке с области В. Возьмем внутри JJ некоторую точку b и соединим ее с с кривой /, принадлежащей области В. На некотором участке этой кривой, примыкающем к точке Ь, наша функция равна нулю, а на участке, примыкающем к точке с, она от нуля отлична. Таким образом, на кривой I должна существовать некоторая точка d, обладающая тем свойством, что на всем участке bd наша функция равна нулю, а на участке dc есть точки, сколь угодно близкие к d, в которых наша функция от нуля отлична. Регулярна функция является в то же время и непрерывной и, следовательно, в самой точке d она должна иметь корень. Но этот корень оказывается не изолированным, ибо вся дуга bd кривой / состоит из корней нашей функции. Это обстоятельство противоречит тому свойству точки d, что на участке dc есть точки, сколь угодно близкие к d, где f ( z) отлична от нуля. Таким образом, высказанная теорема доказана. [15]