Cтраница 2
Если даже дополнить рассуждения Лагранжа для случая, к которому они применяются и где наличие максимума устанавливается при помощи членов второго порядка, рассматриваемая теорема не может быть доказана в полном своем объеме. Известно, что существование максимума совместимо с исчезновением членов второго порядка; вообще достаточно, чтобы первые члены, отличные от нуля, были четного порядка и чтобы сумма этих членов была всегда отрицательной. Формулы, относящиеся к этому последнему условию, до сих пор еще не были даны даже в том случае, когда речь идет о членах четвертого порядка. [16]
Так как требуемые интеграции невозможно выполнить, если а, Ъ и с суть прерывные функции от х, у, z, то следующий вполне общий, но, без сомнения, несколько более сложный метод еще яснее обнаружит справедливость рассматриваемой теоремы. [17]
Таким образом, наш статистический анализ затрат показывает, что в первом приближении затраты, требуемые для доказательства теоремы, пропорциональны числу теорем, которые необходимо рассмотреть для нахождения доказательства. Число рассматриваемых теорем является мерой затрат для оценки эвристики. Хорошая эвристика, обеспечивая рассмотрение правильных теорем в самом начале доказательства, уменьшает ожидаемое число теорем, которые должны быть рассмотрены прежде, чем будет найдено доказательство. [18]
Мы видим также, что теорема Гюльдена, доказанная в предыдущем пункте для многоугольников, будет справедлива и для любых криволинейных фигур, если допустить, что центр тяжести рассматриваемой криволинейной плоской фигуры является предельным положением, к которому стремится центр тяжести вписанного многоугольника, длины всех сторон которого стремятся к нулю. Действительно, при этом условии обе части равенства, выражающего рассматриваемую теорему, являются пределами аналогичных величин, в которых криволинейные площади заменены вписанными многоугольниками. [19]
Про функции активации нейронов выходного слоя из теоремы Хехт-Нильсена известно только то, что они представляют собой нелинейные функции общего вида. В одной из работ, продолжающих развитие теории, связанной с рассматриваемой теоремой, доказывается, что функции активации нейронов выходного слоя должны быть монотонно возрастающими. Это утверждение в некоторой степени сужает класс функций, которые могут использоваться при реализации отображения с помощью двухслойной нейронной сети. [20]
ЛТ переходит на режим работы, когда они кодируются всякий раз, как потребуется. В этом случае затраты на решение задачи все еще грубо пропорциональны общему числу рассматриваемых теорем, но теперь число простых операций на теорему составляет около 70 для метода подстановок, 210 для отделения и 140 для цепеобразования. [21]
Геометрическая машина способна находить доказательства большого числа теорем в пределах выбранной для данного случая формальной системы ( включая теоремы о параллельных линиях, о подобии и о равенстве и неравенстве отрезков и углов), не применяя какого-либо решающего алгоритма и не используя полного перебора всех возможных последовательностей, могущих привести к доказательству. Вместо этого машина опирается на эвристические методы, позволяющие предотвращать вырабатывание таких последовательностей, которые имеют низкую априорную вероятность привести к доказательству рассматриваемой теоремы. [22]
Доказательство Жегалкина, как это сказано в той же сноске, проходит по схеме, изложенной в работе Кенига для счетного случая, и по существу не отличается от схемы доказательства в книге Хаусдорфа [ 4, с. Непосредственно в ходе рассуждений Жегалкин не говорит, что он пользуется теоремой о возможности вполне упорядочить всякое множество, но главу, в которой излагается рассматриваемая теорема, он снабдил примечанием о том, что в ней теорема Цермело признается справедливой ( с. Она у Жегалкина, как и у Хаусдорфа, существенна для умозаключений. [23]
Заметим что их доказательства не опирались на предположения о равновозможности исходов в S: эти доказательства сохраняют силу для любого конечного пространства событий, так что нам нет нужды повторять их здесь; другими словами, рассматриваемые теоремы могут быть легко выведены непосредственно из определяющих вероятности аксиом. [24]
Фурье по косинусам и, следовательно, равен частной сумме ряда Фурье по косинусам. Этот факт, конечно, легко проверить и непосредственно с помощью теории вычетов. Отсюда уже следует рассматриваемая теорема о связи между разложением по собственным функциям и разложением в ряд Фурье. Если sina 0 или sin ( 3 0, данная теорема доказывается аналогично. [25]
Напротив, существенной чертой рассуждений Леви при доказательстве рассматриваемой теоремы было привлечение идеи метризации континуума в том смысле, что в нем можно рассматривать всевозможные отрезки с фиксированными концами. [26]
Результаты Журдена из [10] очень коротко описаны в книге Шенфлиса [ 5, с, 66 ], и именно на последнюю ссылался Бахман, отмечая их. По-видимому, у него заимствовали тройное наименование для неравенства Френкель и Бар-Хиллел. Нигде не приводится книга Жегалкина [1], содержащая общее доказательство рассматриваемой теоремы, причем хронологически предшествующее доказательствам Журдена и Цермело, если считать по времени опубликования. [27]
Условие J ( 5) 2 0 жестко ограничивает сферу применений доказанной теоремы. Тем не менее если В имеет конечный тип, то алгебра В / 3 ( В) 2 также конечного типа. Таким образом, для конечномерных алгебр над алгебраически замкнутым полем условия, налагаемые в рассматриваемой теореме на Г ( В / ( В) 2), необходимы для того, чтобы алгебра В имела конечный тип. [28]
Это объясняется тем, что главным предметом и содержанием алгебры указанной эпохи была теория решений уравнений, в которой центральное место занимала рассматриваемая теорема алгебры, именно поэтому и названная основной. [29]
В параграфе 3.1 формируются основные результаты метода сравнения в терминах функций типа функций Ляпунова и теории дифференциальных, неравенств, которые необходимы для дальнейшего изложения. В параграфе 3.2 определены понятия устойчивости в терминах двух различных мер и показано, как эти понятия позволяют унифицировать разнообразие понятий устойчивости, встречающихся в литературе. В параграфе 3.3 предложены достаточные условия для различных типов устойчивости в терминах двух мер. В этом параграфе также вводятся семейства функций Ляпунова для изучения свойств равномерной устойчивости, когда обычные предположения могут быть ослаблены. В этом общем направлении рассматриваются обобщения теоремы В. В параграфе 3.4 доказана теорема обращения для равномерной асимптотической устойчивости в термина - k двух мер, которое включает хорошо известную обратную теорему Массеры. Вследстаие связи между двумя мерами, подтверждается то, что построение гладкой функции Ляпунова возможно при умеренных предположениях. Интересно, что рассматриваемая теорема обращения приводит, в частности, к обратной теореме о частичной равномерной асимптотической устойчивости и, таким образом, обеспечивает достаточно гибкий результат, чтобы оправдать его применение в нескольких направлениях. В параграфе 3.5 указываются критерии ограниченности и устойчивости по Лагранжу в терминах двух мер. [30]