Cтраница 2
В качестве полезного упражнения предоставим читателю доказательство следующего частного случая общей классификационной теоремы. [16]
Теперь у нас все подготовлено к тому, чтобы сформулировать и доказать основную классификационную теорему. [17]
Мне представляется разумным завершить настоящую вводную главу некоторыми комментариями относительно тех последствий, которые классификационная теорема будет иметь как в самой теории групп, так и в связанных с ней областях математики. Кроме того, следует акже сказать несколько слов о том влиянии, которое она, по всей вероятности, окажет на будущие теоретике-групповые исследования. [18]
Оставшаяся часть настоящей книги, а также ее продолжение будут посвящены детальному обсуждению доказательства классификационной теоремы. [19]
Часто бывает трудно отделить метод от классификационной теоремы, поскольку, если результат последнего типа доказан, он становится инструментом для всех последующих классификационных теорем. [20]
Численное качественное или эргодическое исследование многомерных динамических систем ( и, в частности, предельных режимов в этих системах) предполагает постановку реалистических вопросов, далеких от обычно рассматриваемых в абстрактных классификационных теоремах. [21]
Для получения групп Sp ( 2n, 2) и 0 ( 2) Тиммесфельд показывает при подходящих условиях, что G порождается также классом 3-транспозиций, поэтому группы могут быть идентифицированы с помощью классификационной теоремы Фишера. [22]
После появления теоремы Хемиона как им, так и другими математиками, принимавшими участие в решении проблемы классификации достаточно больших многообразий, было объявлено ( см. [6-8]), что устранение этого решающего препятствия завершает доказательство следующей классификационной теоремы. [23]
При классификации простых конечномерных алгебр Ли - а эта задача нас интересует в первую очередь - обнадеживающий фактор, возможно, заключается в том, что правильный выбор фильтраций в них, скажем, на основе гипотезы 2 ( см. § 1), обеспечит значительное сужение класса ассоциированных градуированных алгебр. Если это так, то классификационная теорема из [3], прежде всего вводящая в обиход язык, на котором нужно вести описание градуированных алгебр, приобретает более общее звучание. [24]
Заключительный шаг нуждается в идентификации подгруппы Я. Обычно результат здесь достигается привлечением некоторых полученных ранее классификационных теорем. [25]
Юрий Иванович Манин мне сказал, что все классификационные теоремы в математике приводят к этому списку по той причине, что он находится в hardware нашего мозга, поэтому мы ничего другого придумать не можем и все подгоняем под эту схему. [26]
В случае односвязных многообразий еще Новиковым и Браудером на основании формулы Хирцебруха было доказано, что классическая сигнатура многообразия является гомотопическим инвариантом, что является следствием гомотопической инвариантности групп гомологии вместе с операциями пересечения. Более того, в односвязном случае на основании классификационных теорем, доказанных Новиковым и Браудером методом перестроек Морса, устанавливается, что гомотопически инвариантным рациональным характеристическим классом является только классическая сигнатура многообразия. Таким образом, в случае рациональных характеристических классов для односвязных многообразий задача о нахождении всех гомотопически инвариантных характеристических классов была полностью решена в классических работах 60 - х годов. [27]
Во втором и третьем случаях G имеет диэдральные или квазидиэдральные силовские 2-подгруппы, поэтому G находится из теорем, классифицирующих такие группы. В частности, G обладает нормальной подгруппой индекса 2, и описание G вновь получается из предыдущих классификационных теорем. [28]
Для любой простой / С-группы вычислены все ее возможные накрывающие. Более детально о них пойдет речь в § 4.15. Таким образом, определены все квазипростые / С-группы. Безусловно, из классификационной теоремы следует, что в действительности мы знаем все квазипростые группы. Исайя Шур показал в [245], что любая простая ( и даже, более общо, совершенная) группа X допускает универсальную накрывающую группу X, обладающую тем свойством, что всякая накрывающая группа для X получается как гомоморфный образ группы X. Центр Z ( X) называется мультипликатором Шура группы X. [29]
Предложение выглядит столь заманчивым, что невольно спрашиваешь - почему же исследование простых групп не пошло указанным путем. Рассмотрим минимальный контрпример G к предполагаемой классификационной теореме, так что любая собственная подгруппа вО является / ( - группой. С другой стороны, пусть G - совершенно произвольная / ( - группа, настолько далекая от простой, насколько вы себе можете представить. Ведь если это возможно, то внутреннее строение G будет подобно внутреннему строению не простой группы, а произвольной / С-группы. Таким образом, если с самого начала следовать предложенным путем, то обязательно возникнет столько различных геометрий, сколько имеется конечных / ( - групп. [30]